Dalam matematika, matriks Hesse adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini juga dikenal sebagai matriks Hessian, Hessian, atau Hesse. Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat

Misal f : ℝⁿ → ℝ adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor x ∈ ℝⁿ dan menghasilkan skalar f(x) ∈ ℝ. Jika semua turunan parsial kedua f ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse H dari f merupakan matriks persegi n×n, biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

${\displaystyle \mathbf {H} f={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks i dan j:

${\displaystyle (\mathbf {H} f)_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

Determinan matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.^[1]

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob lewat hubungan H(f(x)) = J(∇f(x)).

Matriks Hesse merupakan matriks simetris jika semua turunan parsial kedua f kontinu dalam lingkungan D dari titik x yang diberikan. Hal ini adalah akibat dari Teorema Schwarz yang menyatakan kekontinuan turunan kedua fungsi menyebabkan urutan diferensiasi fungsi tidak berpengaruh. Sehingga,

${\displaystyle \mathbf {H} f_{ij}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=\mathbf {H} f_{ji}}$

Aplikasi

Lihat pula

• Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
• Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
• Matriks Jacob
• Persamaan Hesse

Catatan

Bacaan lanjutan

• Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5.
• de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (2005-01-01). "Hesse and the Jacobian conjecture". Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. Vol. 369. hlm. 63–76. doi:10.1090/conm/369/06804. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627.
• de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). "Singular Hessians". Journal of Algebra. 282 (1): 195–204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026.

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Hessian of a function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Hessian". MathWorld.