Partisi selang

Sebuah partisi selang ${\displaystyle [a,b]}$ adalah barisan bilangan hingga berbentuk

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b}$

Setiap [x_i, x_{i + 1}] disebut sub-selang dari partisi. Jaring atau norma partisi didefinisikan sebagai panjang sub-selang terpanjang, yaitu,

${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1]}$.

Partisi tanda ${\displaystyle P(x,t)}$ dari suatu interval ${\displaystyle [a,b]}$ adalah partisi bersama dengan barisan bilangan hingga ${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{n-1}}$ bersubjek pada syarat bahwa untuk setiap ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$. Dengan kata lain, itu adalah partisi bersama dengan titik yang dibedakan dari setiap sub-selang. Jaring partisi yang diberi tag sama dengan partisi biasa.

Misalkan dua partisi ${\displaystyle P(x,t)}$ dan ${\displaystyle Q(y,s)}$ keduanya merupakan partisi dari interval ${\displaystyle [a,b]}$. Bahwa ${\displaystyle Q(y,s)}$ adalah penghalusan dari ${\displaystyle P(x,t)}$ jika untuk setiap bilangan bulat ${\displaystyle i}$, dengan ${\displaystyle i\in [0,n]}$ adalah bilangan bulat ${\displaystyle r(i)}$ sehingga ${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ dan sehingga ${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ untuk suatu ${\displaystyle j}$ dengan ${\displaystyle j\in [r(i),r(i+1)]}$. Dengan lebih sederhana, penghalusan partisi tanda memecahkan beberapa sub-selang dan menambahkan tanda ke partisi (jika perlu), sehingga "penghalus" sebagai keakuratan partisi.

Maka, kita dapat mengubah himpunan semua partisi tanda menjadi himpunan berarah dengan satu partisi tanda besar lebih dari atau sama dengan yang lain jika yang pertama adalah penghalusan dari yang terakhir.

Jumlah Riemann

Misalkan ${\displaystyle f}$ adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval ${\displaystyle [a,b]}$. Jumlah Riemann dari ${\displaystyle f}$ berhubung dengan partisi tanda ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ bersama dengan ${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{n-1}}$ adalah^[3]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right)}$.

Setiap istilah dalam jumlah adalah darab dari nilai fungsi pada titik tertentu dan panjang interval. Akibatnya, setiap istilah mewakili luas (bertanda) persegi panjang dengan tinggi ${\displaystyle f(t_{i})}$ dan lebar ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}$. Jumlah Riemann adalah luas (bertanda) dari semua persegi panjang.

Konsep yang terkait adalah jumlah Darboux bawah dan atas. Ini mirip seperti dengan jumlah Riemann, tetapi tanda diganti dengan infimum dan supremum (masing-masing) dari f untuk setiap sub-selang:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i})\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i})\end{aligned}}}$

Jika ${\displaystyle f}$ adalah kontinu, maka jumlah Darboux bawah dan atas untuk partisi tak-bertanda sama dengan jumlah Riemann untuk partisi itu, di mana tanda dipilih sebagai minimum atau maksimum (masing-masing) ${\displaystyle f}$ pada setiap sub-selang? Ketika ${\displaystyle f}$ terputus dengan sub-selang, mungkin tidak ada tanda yang mencapai infimum atau supremum pada sub-selang tersebut. Integral Darboux yang mirip dengan integral Riemann tetapi berdasarkan jumlah Darboux, setara dengan integral Riemann.

Integral Riemann

Secara khusus, integral Riemann adalah limit dari jumlah Riemann dari suatu fungsi ketika partisi menjadi halus. Apabila limitnya ada, maka fungsi tersebut dikatakan terintegrasi (atau lebih spesifik terintegrasi-Riemann). Jumlah Riemann dapat dibuat sedekat yang diinginkan dengan integral Riemann dengan membuat partisi halus.^[4]

Salah satu persyaratan penting adalah bahwa hubungan partisi menjadi lebih kecil dan lebih kecil, sehingga dalam limitnya adalah nol. Jika tidak demikian, maka kita tidak akan mendapatkan aproksimasi yang baik untuk fungsi pada sub-selang tertentu. Sebenarnya, hal ini cukup untuk mendefinisikan integral. Untuk lebih spesifik, dengan menyatakan bahwa integral Riemann dari ${\displaystyle f}$ sama dengan ${\displaystyle s}$ jika kondisi berikut berlaku:

Untuk semua ${\displaystyle \varepsilon >0}$, terdapat ${\displaystyle \delta >0}$ sehingga untuk partisi bertanda ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ dan ${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{n-1}}$ yang hubungannya kurang dari ${\displaystyle \delta }$, maka

${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon }$.

Sayangnya, definisi ini sangat sulit digunakan. Hal ini akan membantu untuk mengembangkan definisi yang setara dari integral Riemann yang lebih mudah untuk dikerjakan. Kita mengembangkan definisi ini sekarang, dengan bukti kesetaraan berikut. Definisi baru kita mengatakan bahwa integral Riemann dari ${\displaystyle f}$ sama dengan ${\displaystyle s}$ jika syarat berikut berlaku:

Untuk semua ${\displaystyle \varepsilon >0}$, terdapat partisi bertanda ${\displaystyle y_{0},\dots ,y_{m}}$ dan ${\displaystyle r_{0},\dots ,r_{m-1}}$ sehingga untuk setiap partisi bertanda ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ dan ${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{n-1}}$ yang merupakan penghalusan dari ${\displaystyle y_{0},\dots ,y_{m}}$ dan ${\displaystyle r_{0},\dots ,r_{m-1}}$, kita mempunyai

${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$

Pada akhirnya, kedua hal ini berarti bahwa jumlah Riemann dari ${\displaystyle f}$ berhubung dengan setiap partisi akan terungkap dekat ${\displaystyle s}$. Karena ini benar maupun tidak peduli seberapa dekat kita menuntut jumlah terungkap, kita mengatakan bahwa jumlah Riemann konvergen ke ${\displaystyle s}$. Definisi ini sebenarnya merupakan kasus khusus dari konsep yang lebih umum yaitu sebuah jaring.

Seperti yang kita nyatakan sebelumnya, kedua definisi ini adalah ekuivalen. Dengan kata lain, ${\displaystyle s}$ berfungsi dalam definisi pertama jika dan hanya jika ${\displaystyle s}$ berfungsi dalam definisi kedua. Untuk menunjukkan bahwa definisi pertama menyatakan definisi kedua, mulailah dengan ${\displaystyle \varepsilon }$, dan pilih ${\displaystyle \delta }$ yang memenuhi kondisi. Pilih partisi bertanda yang hubungannya kurang dari ${\displaystyle \delta }$. Jumlah Riemann-nya berada dalam ${\displaystyle \varepsilon }$ dari ${\displaystyle s}$, dan setiap penghalusan dari partisi ini juga akan memiliki hubungan kurang dari ${\displaystyle \delta }$, jadi jumlah Riemann dari penghalusan juga akan berada dalam ${\displaystyle \varepsilon }$ dari ${\displaystyle s}$.

Untuk menunjukkan bahwa definisi kedua menyatakan definisi pertama, paling mudah menggunakan integral Darboux. Pertama, satu menunjukkan bahwa definisi kedua setara dengan definisi integral Darboux; untuk ini lihat artikel integral Darboux. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa fungsi integral Darboux memenuhi definisi pertama. Menetapkan ${\displaystyle \varepsilon }$, dan pilih partisi ${\displaystyle y_{0},\dots ,y_{m}}$ sehingga jumlah Darboux bawah dan atas sehubungan dengan partisi ini berada dalam ${\displaystyle \varepsilon /2}$ dari nilai ${\displaystyle s}$ integral Darboux. Maka

${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|}$.

Jika ${\displaystyle r=0}$, maka ${\displaystyle f}$ adalah fungsi nol, yang jelas merupakan integral Darboux dan Riemann dengan integral nol. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa ${\displaystyle r>0}$. Jika ${\displaystyle m>1}$, maka kita memilih ${\displaystyle \delta }$ sehingga

${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$

Jika ${\displaystyle m=1}$, maka kita memilih ${\displaystyle \delta }$ kurang dari satu. Pilih partisi bertanda ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ dan ${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{n-1}}$ dengan hubungan lebih kecil dari ${\displaystyle \delta }$. Kita harus menunjukkan bahwa jumlah Riemann berada dalam ${\displaystyle \varepsilon }$ dari ${\displaystyle s}$.

Untuk melihat ini, pilih selang ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$. Jika selang ini terdapat dalam beberapa ${\displaystyle [y_{j},y_{j+1}]}$, maka

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}$

di mana ${\displaystyle m_{j}}$ dan ${\displaystyle M_{j}}$, infimum dan supremum dari ${\displaystyle f}$ pada ${\displaystyle [y_{j},y_{j+1}]}$. Jika semua selang memiliki sifat ini, maka ini akan menyimpulkan buktinya, karena setiap suku dalam jumlah Riemann akan dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux, dan kita memilih jumlah Darboux yang mendekati ${\displaystyle s}$. Ini adalah kasus ketika ${\displaystyle m=1}$ menjadi bukti yang selesai dalam kasus itu.

Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan ${\displaystyle m>1}$. Dalam hal ini, mungkin salah satu dari ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ tidak terkandung dalam [y_j, y_{j + 1}]. Sebaliknya, hal tersebut mungkin membentang dua selang yang ditentukan oleh ${\displaystyle y_{0},\dots ,y_{m}}$. Hal itu tidak dapat memenuhi tiga interval karena ${\displaystyle \delta }$ diasumsikan lebih kecil dari panjang salah satu interval. Dalam simbol, maka

${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}}$.

Kita berasumsi bahwa semua pertidaksamaan ketat karena jika tidak, kita berada dalam kasus sebelumnya dengan asumsi panjang ${\displaystyle \delta }$. Ini bisa saja terbukti paling banyak mengkali ${\displaystyle m-1}$.

Untuk menangani kasus ini, kita akan memperkirakan perbedaan antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux dengan membagi partisi ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ di ${\displaystyle y_{j+1}}$. Penyebutan ${\displaystyle f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}$ dalam jumlah Riemann dibagi menjadi dua penyebut:

${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right)}$

Misalkan, tanpa kehilangan keumuman, bahwa ${\displaystyle t_{i}\in [y_{j},y_{j+1}]}$. Maka

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}$,

jadi suku ini dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux untuk ${\displaystyle y_{j}}$. Untuk mengikat bentuk lainnya, perhatikan bahwa

${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}}}$,

Oleh karena itu, untuk suatu (memang ada) ${\displaystyle t_{i}^{*}\in [y_{j+1},x_{i+1}]}$,

${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}}$.

Karena ini terjadi paling banyak mengkali ${\displaystyle m-1}$, jarak antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux paling banyak ${\displaystyle \varepsilon /2}$. Oleh karena itu, jarak antara jumlah Riemann dan ${\displaystyle s}$ paling banyak ε.

Linearitas

Integral Riemann adalah transformasi linear; yaitu, jika ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$ terintegralkan dengan Riemann pada ${\displaystyle [a,b]}$ dan ${\displaystyle \alpha }$ dan ${\displaystyle \beta }$ adalah konstanta, maka

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}$.

Karena integral Riemann dari suatu fungsi adalah bilangan, ini membuat integral Riemann menjadi fungsional linear pada ruang vektor dari fungsi integral Riemann.