Bukti untuk pangkat bilangan riil

Sebelum memulai pembuktian, terlebih dahulu dipilih definisi dari nilai ${\displaystyle f(x)=x^{k}}$, dengan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan riil. Meskipun bisa saja untuk mendefinisikan perpangkatan bilangan irasional sebagai limit barisan dari perpangkatan bilangan rasional, atau sebagai batas atas terkecil dari himpunan perpangkatan bilangan rasional kurang dari pangkat yang diberikan, definisi ini tidak dapat diterapkan pada turunan. Oleh karena itu, akan digunakan definisi fungsional, yaitu dengan menulis ulang fungsi ${\displaystyle x^{k}}$ sebagai fungsi eksponensial alami $${\displaystyle x^{k}=e^{\ln \left(x^{k}\right)}=e^{k\,\cdot \,\ln(x)}}$$ untuk setiap nilai ${\displaystyle x>0}$, dengan ${\displaystyle e}$ adalah bilangan Euler.^[1][2]

Pertama, akan ditunjukkan bahwa turunan dari fungsi ${\displaystyle e^{x}}$ adalah ${\displaystyle e^{x}}$. Misalkan ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$, maka ${\displaystyle \ln(f(x))=x}$, dengan ${\displaystyle \ln(x)}$ adalah fungsi logaritma alami, fungsi invers dari fungsi eksponensial.^[3] Oleh karena kedua fungsi di atas bernilai sama untuk setiap ${\displaystyle x>0}$, maka turunannya juga bernilai sama, jika salah satu turunannya ada. Dengan menurunkan kedua ruas menggunakan kaidah rantai, diperoleh $${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}$$ yang menunjukkan bahwa ${\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}$. Dengan menerapkan kaidah rantai ke fungsi ${\displaystyle f(x)=e^{k\,\cdot \,\ln(x)}}$, maka $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {k}{x}}\cdot e^{k\,\cdot \,\ln(x)}\\&={\frac {k}{x}}\cdot x^{k}\\&=kx^{k-1}\end{aligned}}}$$

Saat ${\displaystyle x<0}$, maka ${\displaystyle -x>0}$. Akibatnya, $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}&=\left((-1)(-x)\right)^{k}\\&=(-1)^{k}\cdot \underbrace {\left(-x\right)^{k}} _{>\,0}\end{aligned}}}$$ yang akan mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa faktor ${\displaystyle (-1)^{k}}$ di atas tidak memiliki definisi konvensional saat ${\displaystyle k\not \in \mathbb {Q} }$, sebab fungsi perpangkatan bilangan irasional tidak memiliki nilai yang tunggal untuk basis negatif. Selain itu, dikarenakan perpangkatan ${\displaystyle -1}$ dengan bilangan rasional berpenyebut genap (dalam bentuk paling sederhana) tidak bernilai riil, maka ekspresi ini hanya bernilai riil untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam bentuk paling sederhana).

Terakhir, untuk setiap fungsi yang memiliki turunan di ${\displaystyle x=0}$, maka menurut definisi turunan dengan menggunakan limit, nilainya adalah $${\displaystyle \lim _{h\,\to \,0}{\dfrac {(0+h)^{k}-0^{k}}{h}}}$$ Perhatikan bahwa ekspresi di atas akan bernilai 0 hanya jika ${\displaystyle k>1}$ dan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah), dan bernilai 1 saat ${\displaystyle k=1}$. Untuk semua nilai ${\displaystyle k}$ yang lain, ekspresi ${\displaystyle h^{k}}$ tidak memiliki nilai yang tunggal untuk ${\displaystyle h<0}$ (seperti yang dibahas di atas), atau nilainya bukan bilangan riil, sehingga nilai limitnya tidak ada (sebagai turunan bernilai riil). Untuk dua kasus yang nilai turunannya ada, nilainya sesuai dengan nilai kaidah pangkat yang diterapkan pada titik ${\displaystyle x=0}$, sehingga tidak perlu dibuat pengecualian.

kasus saat ${\displaystyle x=0}$ (yaitu ekspresi ${\displaystyle 0^{0}}$) biasa diabaikan, lantaran fungsi ${\displaystyle f(x,\,y)=x^{y}}$ tidak memiliki limit pada ${\displaystyle (0,\,0)}$, sebab

• ${\displaystyle \lim _{x\,\to \,0}x^{0}=1}$, sedangkan
• ${\displaystyle \lim _{y\,\to \,0}0^{y}=0}$

Oleh karena nilai limitnya berbeda, maka sering kali ekspresi ${\displaystyle 0^{0}}$ nilainya tidak ada.

Bukti untuk pangkat bilangan bulat tak nol

Perumuman untuk pangkat bilangan rasional

Setelah membuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk pangkat bilangan bulat, aturan tersebut dapat diperumum untuk pangkat bilangan rasional.

Pembuktian melalui kaidah rantai

Pembuktian ini terdiri dari dua tahapan yang melibatkan kaidah rantai

1. Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, serta didefinisikan ${\displaystyle k={\dfrac {1}{n}}}$ dan misalkan ${\displaystyle y=x^{k}}$. Dari sini, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{k}\\y&=x^{\tfrac {1}{n}}&&k={\dfrac {1}{n}}\\y^{n}&=x\\ny^{n-1}\cdot {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&=1&&{\text{Kaidah rantai}}\\{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&={\dfrac {1}{ny^{n-1}}}\\&={\dfrac {1}{n}}\cdot {\dfrac {1}{\left(x^{\tfrac {1}{n}}\right)^{n-1}}}&&{\text{Lihat kembali baris 2}}\\&={\dfrac {1}{n}}\cdot {\dfrac {1}{x^{1-{\tfrac {1}{n}}}}}\\&={\dfrac {1}{n}}\cdot x^{{\tfrac {1}{n}}-1}\\&=kx^{k-1}&&k={\dfrac {1}{n}}\end{aligned}}}$$ sehingga, aturan rantai dapat diterapkan pada perpangkatan dengan bentuk umum ${\displaystyle {\dfrac {1}{n}}}$, dengan ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Hal ini dapat diperumum untuk perpangkatan rasional dalam bentuk ${\displaystyle {\dfrac {p}{q}}}$ dengan cara yang kurang lebih serupa, seperti pada langkah selanjutnya.
2. Diambil sembarang ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ dan ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$, serta didefinisikan ${\displaystyle k={\dfrac {p}{q}}}$ (yang mengakibatkan ${\displaystyle k\in \mathbb {Q} }$) dan misalkan ${\displaystyle y=x^{k}}$. Dari sini, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{k}\\y&=x^{\tfrac {p}{q}}&&k={\dfrac {p}{q}}\\&=\left(x^{\tfrac {1}{q}}\right)^{p}\\{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&=p\left(x^{\tfrac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\dfrac {1}{q}}x^{{\tfrac {1}{q}}-1}&&{\text{Kaidah rantai}}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot x^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {1}{q}}+{\tfrac {1}{q}}-1}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot x^{{\tfrac {p}{q}}-1}\\&=kx^{k-1}&&k={\dfrac {p}{q}}\end{aligned}}}$$ Akibatnya, jika ${\displaystyle k}$ adalah suatu bilangan rasional, maka berlaku ${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}x^{k}=kx^{k-1}}$

Pembuktian menggunakan turunan implisit

Metode pendiferensialan implisit juga dapat digunakan untuk memperumum kaidah pangkat untuk bilangan rasional. Diambil sembarang ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ dan ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$, serta didefinisikan ${\displaystyle k={\dfrac {p}{q}}}$ (yang mengakibatkan ${\displaystyle k\in \mathbb {Q} }$) dan misalkan ${\displaystyle y=x^{k}}$. Dari sini, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{k}\\y&=x^{\tfrac {p}{q}}&&k={\dfrac {p}{q}}\\y^{q}&=x^{p}\\qy^{q-1}\cdot {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&=px^{p-1}&&{\text{Kedua ruas diturunkan terhadap }}x\\{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&={\dfrac {p}{q}}\cdot {\dfrac {x^{p-1}}{y^{q-1}}}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot {\dfrac {y\cdot x^{p-1}}{y^{q}}}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot {\dfrac {x^{\tfrac {p}{q}}\cdot x^{p-1}}{x^{p}}}&&{\text{Lihat baris 2 dan 3}}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot x^{{\tfrac {p}{q}}+p-1-p}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot x^{{\tfrac {p}{q}}-1}\\&=kx^{k-1}&&k={\dfrac {p}{q}}\end{aligned}}}$$ sehingga terbukti bahwa ${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}x^{k}=kx^{k-1}}$ apabila ${\displaystyle k\in \mathbb {Q} }$.

Catatan

Sitasi