Matriks uniter berukuran 2 × 2

Ekspresi umum dari suatu matriks uniter berukuran 2 × 2 adalah

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1,}$$

yang bergantung pada empat parameter real, yakni fasa dari ${\displaystyle a}$, fasa dari ${\displaystyle b}$, magnitudo relatif antara ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, dan sudut and φ. Determinan dari matriks tersebut adalah$${\displaystyle \det(\mathbf {U} )=e^{i\varphi }.}$$Grup dari matriks uniter ${\displaystyle \mathbf {U} }$ dengan ${\displaystyle \det(\mathbf {U} )=1}$ dikenal dengan grup uniter spesial (special unitary group) ${\displaystyle SU(2)}$.

Matriks ${\displaystyle \mathbf {U} }$ juga dapat dituliskan dalam bentuk alternatif berikut: $${\displaystyle \mathbf {U} =e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},}$$

yang, dengan memperkenalkan variabel ${\displaystyle \varphi _{1}=\psi +\Delta }$ dan ${\displaystyle \varphi _{1}=\psi -\Delta }$, akan memiliki faktorisasi berbentuk:

$${\displaystyle \mathbf {U} =e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.}$$

Ekspresi tersebut memperjelas hubungan antara matriks uniter berukuran 2 × 2 dan matriks ortogonal dengan sudut θ. Bentuk faktorisasi lain adalah^[2]

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end{bmatrix}}.}$$

Matriks uniter juga memiliki beberapa faktorisasi matriks-matriks dasar.^[3][4][5]