Artikel ini adalah bagian dari seri:
Matematika
Ragam Garis besar matematika Aritmetika Bahasa pemrograman Filsafat matematika Matematika diskrit Matematika Islam Matematika keuangan Matematika murni Matematika terapan Matematika Yunani Pendidikan matematika
Aritmetika dasar Digit Penambahan (+) Pengurangan (-) Perkalian (×) Pembagian (÷)
Konsep matematika Faktorisasi dan Faktorisasi prima Bilangan prima dan Faktor persekutuan terbesar Garis bilangan Kelipatan dan Kelipatan persekutuan terkecil Pecahan Perpangkatan Akar bilangan dan Akar kuadrat Logaritma Himpunan Fungsi Peluang Rasio Dimensi Persamaan Sistem koordinat Statistika Teorema dasar kalkulus Teorema nilai antara Teorema nilai purata Teorema pythagoras Hipotenusa
Bangun datar dan ruang Persegi Persegi panjang Segitiga Segi lima Segi enam Segi delapan Tetrahedron Kubus Oktahedron Dodekahedron Ikosahedron
Alat matematika Swipoa Kalkulator Penggaris Jangka Jangka sorong Busur derajat
l b s

Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut.^[1] Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II.^[2] Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalam membuktikan teorema dasar kalkulus.

Sejarah

Kasus khusus teorema ini pertama kali dijelaskan oleh Parameshvara (1370–1460), dari Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala di India, dalam komentarnya tentang Govindasvāmi dan Bhāskara II.^[3] Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh Michel Rolle pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai Teorema Rolle, dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh Augustin Louis Cauchy pada tahun 1823.^[4]

Pernyataan formal

Misalkan f: [a, b] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), di mana a < b. Maka terdapat suatu c dalam (a, b) sehingga

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a) = f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinu dalam selang [a, b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f' (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x^1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan ${\displaystyle f(x)=e^{ix}}$ untuk semua x bernilai riil. Maka

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$,

sedangkan

${\displaystyle |f'(x)|=1}$.

Bukti

Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (a, ƒ(a)) dan (b, ƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (x, ƒ(x)). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.

Definisikan g(x) = ƒ(x) − rx, di mana r adalah konstanta. Karena ƒ kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada(a, b), hal yang sama juga berlaku buat g. Kita sekarang ingin memilih r sedemikian sehingga g memenuhi syarat teorema Rolle, yaitu

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}}$

Menurut teorema Rolle, karena g kontinu, dan g(a) = g(b), terdapat suatu c dalam (a, b) sedemikian sehingga g ′(c) = 0, dan dari persamaan g(x) = ƒ(x) − rx berarti

${\displaystyle f'(c)=g'(c)+r=0+r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

seperti yang hendak dibuktikan.

Teorema nilai purata untuk integral

Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya.

Rujukan

Pranala luar

• (Inggris) PlanetMath: Mean-Value Theorem Diarsipkan 2009-11-18 di Wayback Machine.
• (Inggris) Mathworld: Mean-Value Theorem