ENSIKLOPEDIA

Kembali ke Ensiklopedia Arsip Wikipedia Indonesia

Teorema dasar aljabar

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Fundamental theorem of algebra di Inggris.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial variabel tunggal nonkonstan dengan koefisien bilangan kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks. Ini termasuk polinomial dengan koefisien real, karena setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner sama dengan nol.

Secara ekuivalen (menurut definisi), teorema tersebut menyatakan bahwa lapangan bilangan kompleks tertutup secara aljabar.

Teorema ini dinyatakan sebagai berikut: setiap polinomial nonkonstan variabel tunggal berderajat $n$ dengan koefisien kompleks memiliki tepat $n$ akar kompleks (dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar). Kesetaraan pernyataan ini dengan pernyataan pada paragraf pertama dapat dibuktikan melalui penggunaan pembagian polinomial yang berurutan.

Terlepas dari namanya, tidak ada bukti teorema yang murni aljabar, karena bukti apapun harus menggunakan beberapa bentuk analitik kelengkapan bilangan riil, yang merupakan bukan konsep aljabar.^[1] Selain itu, ini bukanlah teorema dasar untuk aljabar modern; namanya diberikan pada saat aljabar identik dengan teori persamaan.

Sejarah

Peter Roth, dalam bukunya Arithmetica Philosophica (diterbitkan pada 1608, di Nürnberg, oleh Johann Lantzenberger),^[2] menulis bahwa persamaan polinomial berderajat $n$ (dengan koefisien bilangan real) mungkin memiliki $n$ akar. Albert Girard, dalam bukunya L'invention nouvelle en l'Algèbre (diterbitkan tahun 1629), menegaskan bahwa persamaan polinomial berderajat $n$ memiliki $n$ akar, tetapi dia tidak menyatakan bahwa semua solusinya harus bilangan real. Lebih jauh, dia menambahkan bahwa pernyataannya menyatakan "kecuali persamaannya tidak lengkap", yang dia maksudkan bahwa tidak ada koefisien yang sama dengan $0$ . Namun, ketika dia menjelaskan secara rinci apa yang dia maksud, jelas bahwa dia benar-benar percaya bahwa pernyataannya itu selalu benar; Misalnya, dia menunjukkan persamaan itu $x^{4}=4x-3,$ meskipun tidak lengkap, memiliki empat penyelesaian (menghitung multiplisitas aljabar): $1$ (dua kali), $-1+i{\sqrt {2}},$ dan $-1-i{\sqrt {2}}.$

Seperti yang akan disebutkan lagi di bawah ini, ini dapat disimpulkan dari teorema dasar aljabar bahwa setiap polinomial tidak konstan dengan koefisien bilangan real dapat ditulis sebagai hasil kali polinomial-polinomial koefisien bilangan real yang derajatnya adalah 1 atau 2. Namun, pada 1702, Leibniz secara keliru mengatakan bahwa tidak ada polinomial dari jenis $x 4 + a 4$ (dengan $a$ adalah bilangan real tidak 0) dapat ditulis sedemikian rupa. Belakangan, Nikolaus Bernoulli membuat pernyataan yang sama tentang polinomial $x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 4$ , tetapi dia mendapat surat dari Euler pada tahun 1742^[3] yang menunjukkan bahwa polinomial ini sama dengan

\left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),

dengan $\alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.$ Selain itu, Euler menunjukkan itu

x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).

Upaya pertama untuk membuktikan teorema dilakukan oleh d'Alembert pada tahun 1746, tetapi buktinya tidak lengkap. Di antara masalah lainnya, ia mengasumsikan secara implisit sebuah teorema (sekarang dikenal sebagai Teorema Puiseux), yang tidak akan dibuktikan sampai lebih dari satu abad kemudian dan menggunakan teorema dasar aljabar. Upaya lain dilakukan oleh Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), dan Laplace (1795). Empat percobaan terakhir ini secara implisit mengasumsikan pernyataan Girard; lebih tepatnya, apabila setiap polinomial nonkonstan memiliki akar maka akarnya akan berbentuk $a+bi$ untuk suatu bilangan real $a$ dan $b$ . Dalam istilah modern, Euler, de Foncenex, Lagrange, dan Laplace mengasumsikan adanya lapangan pemisah dari polinomial $p(z)$ .

Pada akhir abad ke-18, dua bukti baru diterbitkan yang tidak mengasumsikan keberadaan akar, tetapi tidak ada yang lengkap. Salah satunya, oleh James Wood dengan bukti yang bersifat aljabar, diterbitkan pada tahun 1798 dan dianggap valid tanpa celah awalnya. Namun, beberapa tahun kemudian, bukti Wood didapati memiliki celah aljabar.^[4] Bukti lainnya diterbitkan oleh Gauss pada tahun 1799 dengan bukti yang bersifat geometris, tetapi memiliki celah topologi, yang dilengkapi oleh Alexander Ostrowski pada tahun 1920, seperti yang dibahas di Smale.^[5] Bukti formal pertama diterbitkan oleh Argand pada 1806 (dan ditinjau kembali pada 1813);^[6] Di sinilah, untuk pertama kalinya, teorema dasar aljabar dinyatakan untuk polinomial dengan koefisien bilangan kompleks, bukan hanya koefisien bilangan riil. Gauss menghasilkan dua bukti lain pada tahun 1816 dan versi tidak lengkap yang lain dari bukti aslinya pada tahun 1849.

Buku teks pertama yang berisi bukti teorema dasar aljabar adalah buku karangan Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Buku tersebut menggunakan bukti dari Argand, tetapi tidak menyebut Argand sebagai penemu bukti tersebut.

Tak satu pun dari bukti yang disebutkan sejauh ini adalah konstruktif. Hal ini pertama kali disinggung oleh Weierstrass pada pertengahan abad ke-19. Pada 1891, dia mempresentasikan bukti konstuktifnya, yang pada saat ini dikenal sebagai kombinasi dari metode Durand–Kerner dengan prinsip kelanjutan homotopi. Bukti lain yang konstruktif diberikan oleh Hellmuth Kneser pada tahun 1940 dan disederhanakan oleh putranya Martin Kneser pada tahun 1981.

Tanpa menggunakan aksioma pilihan terhitung, membuktikan teorema dasar aljabar untuk bilangan kompleks secara konstruktif adalah hal yang mustahil. Hal ini didasarkan dari konstruksi bilangan real Dedekind yang tidak setara secara konstruktif dengan bilangan real Cauchy tanpa aksioma pilihan terhitung.^[7] Namun, Fred Richman berhasil membuktikan formulasi ulang dari teorema dasar aljabar tanpa menggunakan aksioma pilihan terhitung secara konstruktif.^[8]

Pernyataan ekuivalen

Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen dengan teorema dasar aljabar:

Setiap polinomial variabel tunggal berderajat positif dengan koefisien real memiliki setidaknya satu akar kompleks.
Setiap polinomial variabel tunggal berderajat positif dengan koefisien kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks.Tentunya ini mengimplikasikan pernyataan pada poin sebelumnya, karena semua bilangan real adalah bilangan kompleks. Konversnya, yaitu pernyataan poin pertama mengimplikasikan pernyataan pada poin ini, juga benar, karena polinomial real dapat dituliskan sebagai hasil kali suatu polinomial kompleks $p(x)$ dengan konjugat kompleksnya $q(x)$ (diperoleh dengan mengganti semua koefisien pada $p(x)$ dengan konjugat kompleksnya). Dengan demikian, akar-akar dari polinomial real tersebut terdiri dari semua akar $p(x)$ dan semua akar $q(x)$ (akarnya berupa konjugat kompleks dari akar-akar $p(x)$ ).
Setiap polinomial variabel tunggal dengan derajat positif $n$ dengan koefisien kompleks dapat difaktorkan sebagai $c(x-r_{1})\dots (x-r_{n}),$ dengan $c,r_{1},\dots ,r_{n}$ adalah bilangan kompleks.Bilangan-bilangan kompleks $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ adalah akar-akar dari polinomial tersebut. Jika ada akar yang muncul di beberapa faktor, maka akar tersebut merupakan akar ganda dan banyaknya kemunculan akar tersebut merupakan multiplisitas dari akar tersebut. Bukti dari ekuivalensi pernyataan ini telah dituliskan di atas melalui rekursi pada $n$ : misalkan $r_{1}$ diketahui sebagai akar dari suatu polinomial, maka polinomial tersebut habis dibagi faktor $x-r_{1}$ dan hasil baginya adalah polinomial berderajat $n-1$ yang akar-akarnya adalah akar-akar lain dari polinomial yang diberikan.

Dua pernyataan selanjutnya ekuivalen dengan pernyataan-pernyataan di atas, walaupun kedua pernyataan ini tidak melibatkan bilangan kompleks nonreal. Kedua pernyataan ini dapat dibuktikan dengan faktorisasi sebelumnya, dengan mengobservasi bahwa jika $r$ adalah akar nonreal dari polinomial dengan koefisien real, maka ${\bar {r}}$ adalah akar dari polinomial tersebut dan $(x-r)(x-{\bar {r}})$ merupakan polinomial real berderajat dua. Sebaliknya, jika suatu polinomial habis dibagi faktor polinomial berderajat dua, maka akar faktor tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus kuadrat.

Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat lebih besar daripada dua memiliki faktor berderajat dua dengan koefisien real.
Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat positif dapat difaktorkan sebagai $cp_{1}\dots p_{k},$ dengan $c$ adalah bilangan real dan setiap $p_{i}$ adalah polinomial monik berderajat maksimal dua dengan koefisien real. Faktor $p_{i}$ yang memiliki derajat dua tidak memiliki akar real.

Bukti

Semua bukti di bawah ini melibatkan konsep dari analisis matematika, atau setidaknya konsep topologis kekontinuan dari fungsi real atau kompleks. Beberapa bukti juga menggunakan konsep fungsi diferensiabel atau bahkan fungsi analitik. Karena inilah, orang-orang berpendapat bahwa Teorema Dasar Aljabar bukanlah teorema yang mendasar ataupun teorema aljabar.^[9]

Beberapa bukti teorema ini hanya membuktikan bahwa polinomial tak konstan apapun dengan koefisien real memiliki akar yang kompleks. Ini cukup untuk membangun teorema dalam kasus umum, karena apabila diberikan polinomial nonkonstan $p(z)$ dengan koefisien kompleks, polinomial $q(z)=p(z){\overline {p({\overline {z}})}}$ adalah polinomial dengan koefisien real dan, jika $z$ adalah akar dari $q(z)$ , maka $z$ atau konjugatnya adalah akar dari $p(z)$ .

Banyak bukti nonaljabar dari teorema menggunakan fakta (kadang-kadang disebut "lema pertumbuhan") bahwa fungsi polinomial $p(z)$ berderajat $n$ yang koefisien dominannya adalah 1 berperilaku seperti $z^{n}$ saat $|z|$ bernilai cukup besar. Lebih tepatnya, ada bilangan real positif $R$ sedemikian rupa sehingga: ${\frac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\frac {3}{2}}|z^{n}|$ jika $|z|>R$ .

Bukti analisis kompleks

Misalkan $D$ adalah cakram dengan radius $r$ berpusat di titik asal sedemikian rupa sehingga $|p(z)|>|p(0)|$ saat $|z|\geq r$ . Nilai minimal dari $|p(z)|$ pada himpunan $D$ ada, sebab $D$ adalah himpunan kompak, sehingga nilai minimum tersebut tercapai di suatu titik interior $z_{0}$ dari himpunan $D$ , bukan di titik batas dari himpunan $D$ . Prinsip modulus maksimum (diterapkan ke $1/p(z)$ ) kemudian menunjukkan bahwa $p(z_{0})=0$ . Dengan kata lain, $z_{0}$ adalah akar dari $p(z)$ .

Variasi dari bukti ini tidak memerlukan penggunaan prinsip modulus maksimum (pada kenyataannya, argumen yang sama dengan perubahan kecil memberikan bukti prinsip modulus maksimum untuk fungsi holomorfik). Bagian sebelum penggunaan prinsip modulus maksimum juga dapat dilanjutkan dengan kontradiksi, i.e. memisalkan $p(z_{0})$ bernilai suatu konstan $a$ tak nol, maka $p(z)$ dapat dituliskan dalam deret pangkat $(z-z_{0})$ sebagai berikut $p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

Di sini, $c_{j}$ adalah koefisien dari $z^{j}$ pada polinomial $p(z+z_{0})$ jika dijabarkan, dan $k$ adalah indeks dari koefisien tak nol pertama setelah suku konstan $p(z_{0})$ . Untuk $z$ yang cukup dekat dengan $z_{0}$ , fungsi ini memiliki perilaku yang secara asimtotik sama dengan polinomial $q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}$ . Lebih tepatnya, hal ini dapat dituliskan sebagai $\left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M$ untuk suatu konstanta positif $M$ di suatu lingkungan dari $z_{0}$ . Oleh karena itu, misalkan $\theta =(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k$ dan $z=z_{0}+re^{i\theta }$ , maka untuk suatu bilangan positif $r$ yang cukup kecil (sedemikian sehingga hingga batas $M$ yang disebutkan di atas berlaku), ${\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}.\end{aligned}}$

Apabila $r$ cukup dekat dengan $0$ , argumen di atas mengakibatkan batas atas dari $|p(z)|$ lebih kecil daripada $|a|$ , kontradiksi dengan asumsi $z_{0}$ merupakan titik global minimum dari $|p(z)|$ pada himpunan $D$ . Secara geometris, argumen ini memberikan arah eksplisit $\theta _{0}$ sedemikian sehingga jika $z$ mendekati $z_{0}$ dari arah tersebut, maka $|p(z)|<|p(z_{0})|$ untuk $r$ yang cukup dekat dengan 0.

Bukti analitik lain dapat diperoleh dengan mengamati bahwa $|p(z)|>|p(z_{0})|$ di luar $D$ mengakibatkan nilai minimum $|p(z)|$ di seluruh bidang kompleks dicapai di $z_{0}$ . Jika $|p(z_{0})|>0$ , maka $1/p(z)$ adalah fungsi holomorfik terbatas di seluruh bidang kompleks, karena $|1/p(z)|\leq |1/p(z_{0})|$ untuk setiap bilangan kompleks $z$ . Namun, Teorema Liouville menyatakan bahwa fungsi holomorfik yang terbatas pada $\mathbb {C}$ haruslah merupakan fungsi konstan. Hal ini mengakibatkan $1/p(z)$ adalah fungsi konstan, yang merupakan kontradiksi. Maka, $p(z_{0})=0$ .^[10]

Bukti analitik lain mengandalkan prinsip argumen. Misalkan $R$ adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar dari $p(z)$ memiliki nilai absolut lebih kecil dari $R$ . Bilangan $R$ yang memenuhi sifat ini haruslah ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan berderajat $n$ memiliki paling banyak $n$ akar. Untuk setiap $r>R$ , tinjau bilangan $N={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,$ dimana $c(r)$ adalah lingkaran yang berpusat pada titik asal dengan jari-jari $r$ berorientasi berlawanan arah jarum jam. Dari prinsip argumen, $N$ merepresentasikan banyaknya akar dari $p(z)$ (memperhitungkan multiplisitas aljabar) di dalam bola buka berpusat di $0$ dengan radius $r$ . Karena $r>R$ , maka bilangan $N$ sama dengan banyaknya pembuat nol di $\mathbb {C}$ . Di sisi lain, hasil dari pembagian integral dari $n/z$ sepanjang kontur $c(r)$ oleh $2\pi i$ sama dengan $n$ . Namun, selisih dari kedua angka tersebut adalah ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.$

Pembilang dari bentuk rasional yang diintegralkan berderajat paling besar $n-1$ , sedangkan penyebutnya berderajat $n+1$ . Oleh karena itu, integral di atas cenderung mendekati $0$ seiring $r\rightarrow +\infty$ . Tetapi bilangan ini juga sama dengan $N-n$ , sehingga $N=n$ .

Bukti dengan metode analisis kompleks lain diberikan dengan mengkombinasikan aljabar linier dengan Teorema Cauchy. Memperlihatkan bahwa setiap polinomial kompleks berderajat n > 0 memiliki pembuat nol dapat dilakukan dengan hanya menunjukkan bahwa setiap matriks persegi $n\times n$ dengan entri kompleks memiliki nilai eigen^[11] kompleks. Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi.

Misalkan $A$ adalah matriks persegi $n\times n$ dengan entri kompleks dan $I_{n}$ adalah matriks identitas perkalian dengan ukuran yang sama. Asumsikan $A$ tidak memiliki nilai eigen, maka fungsi resolvent $R(z)=(zI_{n}-A)^{-1}$ adalah fungsi meromorfik pada bidang kompleks dengan kodomain ruang vektor matriks dengan entri kompleks. Nilai eigen dari $A$ adalah pole dari $R(z)$ . Karena diasumsikan $A$ tidak memiliki nilai eigen, fungsi $R(z)$ adalah fungsi entire dan Teorema Cauchy mengimplikasikan bahwa $\int _{c(r)}R(z)dz=0.$

Di sisi lain, ekspansi $R(z)$ sebagai deret geometri memberikan $R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}.$

Rumus ini valid di luar cakram tertutup berjari-jari $\|A\|$ (norm dari operator $A$ ). Misalkan $r>\|A\|$ . Maka $\int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k+1}=2\pi iI_{n}$

(hanya untuk $k=0$ integran pada suku deret tersebut bernilai tak nol). Ini adalah kontradiksi, sehingga $A$ memiliki nilai eigen.

Terakhir, aplikasi Teorema Rouche memberikan bukti dari teorema dasar aljabar yang barangkali paling singkat.

Bukti topologi

Misalkan nilai minimal $|p(z)|$ di seluruh bidang kompleks dicapai saat $z=z_{0}$ ; eksistensi nilai minimal ini terlihat pada bukti yang menggunakan teorema Liouville. Fungsi $p(z)$ dapat dituliskan sebagai polinomial dengan variabel $(z-z_{0})$ : ada suatu bilangan asli $k$ dan bilangan-bilangan kompleks $c_{k},c_{k+1},\dots ,c_{n}$ dengan $c_{k}\neq 0$ dan: $p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

Jika $p(z_{0})$ tidak sama dengan nol, maka apabila $a$ adalah akar pangkat $k$ dari $-p(z_{0})/c_{k}$ dan jika $t$ adalah konstanta positif yang cukup kecil, maka $|p(z_{0}+ta)|<|p(z_{0})|$ . Hal ini tidak mungkin, karena $|p(z_{0})|$ adalah minimum dari $|p|$ pada $D$ .

Bukti topologi lain menggunakan kontradiksi. Misalkan polinomial $p(z)$ tidak memiliki akar sehingga tidak pernah bernilai $0$ . Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan polinomial $p(z)$ adalah polinomial monik. Pandang polinomial $p(z)$ sebagai pemetaan dari bidang kompleks ke bidang kompleks. Pemetaan ini memetakan lingkaran $|z|=R$ ke suatu gelung tertutup (closed loop), kurva $P(R)$ . Pada argumen ini, tinjau bilangan lilit (winding number) dari kurva $P(R)$ pada dua kondisi ekstrem, yaitu saat $R$ sangatlah besar dan $R=0$ . Untuk nilai $R$ yang cukup besar, suku utama $z^{n}$ mendominasi jumlahan suku-suku polinomial lainnya. Dengan kata lain, $|z^{n}|>|a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+\dots +a_{1}z+a_{0}|$ . Apabila $z$ mengitari lingkaran $Re^{i\theta }$ sekali berlawanan arah jarum jam $(0\leq \theta \leq 2\pi ),$ maka $z^{n}=R^{n}e^{in\theta }$ mengitari titik pusat $n$ kali secara berlawanan arah jarum jam $(0\leq \theta \leq 2\pi n)$ , dan begitu pula $P(R)$ . Maka, bilangan lilit dari $P(R)$ adalah $n$ . Pada kondisi ekstrem lain, apabila $|z|=0$ , kurva $P(0)$ hanyalah titik $p(0)$ , yang tidak sama dengan nol, karena $p(z)$ tidak pernah nol. Oleh karena itu, bilangan lilit $P(0)$ haruslah $0$ . Sekarang apabila nilai $R$ diubah secara kontinu dari $R$ yang sangat besar ke $R=0$ , ini akan mendeformasi kurva gelung tertutup $P(R)$ secara kontinu. Dengan demikian, bilangan lilit dari kurva gelung tertutup $P(R)$ haruslah berubah. Namun, ini hanya mungkin terjadi, apabila $P(R)$ melalui titik asal $0$ untuk suatu $R$ , yang mengimplikasikan ada $z_{0}$ pada lingkaran itu yang membuat $p(z_{0})=0$ . Ini menunjukkan bahwa $p(z)$ memiliki setidaknya satu akar.

Bukti aljabar

Bukti teorema fundamental aljabar ini harus menggunakan dua fakta berikut tentang bilangan real yang bukan fakta aljabar tetapi hanya memerlukan sedikit analisis, yaitu teorema nilai antara:

setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real memiliki setidaknya satu akar real;
setiap bilangan riil nonnegatif memiliki akar kuadrat.

Fakta kedua, bersama dengan rumus kuadrat, membuktikan teorema dasar aljabar untuk polinomial real berderajat dua. Dengan demikian, hal ini menunjukkan bahwa jika $R$ adalah lapangan yang tertutup secara real, maka perluasannya $C=R({\sqrt {-1}})$ tertutup secara aljabar.

Dengan induksi

Seperti yang disebutkan di atas, teorema ini cukup dibuktikan dengan memeriksa pernyataan "setiap polinomial nonkonstan $p(z)$ dengan koefisien real berderajat $n$ memiliki akar kompleks". Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi pada bilangan bulat nonnegatif terbesar $k$ sedemikian rupa $2^{k}$ habis membagi $n$ . Misalkan $a$ adalah koefisien $z^{n}$ pada $p(z)$ dan $F$ adalah lapangan pemisahan dari $p(z)$ terhadap $C$ . Dengan kata lain, lapangan $F$ memuat $C$ dan ada elemen $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ di $F$ maka $p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).$

Jika $k=0$ , maka $n$ adalah bilangan ganjil, sehingga $p(z)$ memiliki akar real. Sekarang, misalkan $n=2^{k}m$ (dengan $m$ bilangan ganjil dan $k>0$ ) dan asumsikan teorema ini telah dibuktikan untuk polinomial berderajat $2^{k-1}m'$ , dengan $m'$ adalah bilangan ganjil. Untuk setiap bilangan real $t$ , definisikan polinomial $q_{t}(z)$ sebagai berikut: $q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).$

Maka, koefisien dari $q_{t}(z)$ adalah polinomial simetris dalam $z_{i}$ dengan koefisien real. Dengan demikian, koefisien-koefisien tersebut dapat dituliskan sebagai polinomial multivariabel dengan koefisien real, dengan variabelnya berupa polinomial simetris elementer. Jadi, $q_{t}(z)$ adalah polinomial dengan koefisien real. Lebih jauh lagi, derajat dari polinomial $q_{t}(z)$ adalah $n(n-1)/2=2^{k-1}m(n-1),$ dan $m(n-1)$ adalah bilangan ganjil. Dengan menggunakan hipotesis induksi, polinomial $q_{t}$ memiliki setidaknya satu akar kompleks, sehingga ini berarti $z_{i}+z_{j}+tz_{i}z_{j}$ adalah bilangan kompleks untuk dua bilangan asli $i,j\in \{1,2,\dots n\}$ yang berbeda. Karena banyaknya bilangan real lebih banyak daripada banyaknya pasangan $(i,j)$ yang mungkin, terdapat dua bilangan real berbeda $t$ dan $s$ sehingga $z_{i}+z_{j}+tz_{i}z_{j}$ dan $z_{i}+z_{j}+sz_{i}z_{j}$ adalah bilangan kompleks (untuk pasangan $(i,j)$ yang sama). Akibatnya, $z_{i}+z_{j}$ dan $z_{i}z_{j}$ keduanya adalah bilangan kompleks. Mengingat setiap bilangan kompleks memiliki akar kuadrat kompleks, maka sembarang polinomial koefisien kompleks berderajat dua memiliki akar kompleks dari rumus kuadrat. Akibatnya, $z_{i}$ dan $z_{j}$ adalah bilangan kompleks, karena keduanya merupakan akar dari persamaan polinomial kuadrat $z^{2}-(z_{i}+z_{j})z+z_{i}z_{j}$ .

Pada 2007, Joseph Shipman menunjukkan bahwa asumsi polinomial berderajat ganjil selalu memiliki akar merupakan asumsi yang dapat diganti dengan asumsi yang lebih ringan. Ia menunjukkan semua lapangan dengan sifat setiap polinomial berderajat prima memiliki akar haruslah tertutup secara aljabar (sehingga derajat "ganjil" dapat diganti dengan derajat "ganjil prima" dan ini berlaku untuk lapangan dengan sembarang karakteristik).^[12] Sifat ini dapat digunakan sebagai definisi lapangan yang tertutup secara aljabar dapat didefinisikan, karena asumsi ini sudah tidak dapat diperingan lagi, mengingat terdapat contoh penyangkal apabila ada bilangan prima ganjil yang tidak dimasukkan ke asumsi. Akan tetapi, contoh-contoh penyangkal yang diberikan hanyalah berupa polinomial yang memiliki koefisien dari lapangan yang tidak memiliki akar kuadrat dari $-1$ . Pada lapangan yang memiliki akar kuadrat dari $-1$ , jika setiap polinomial berderajat $n\in I$ memiliki akar ( $I$ adalah suatu himpunan tak hingga yang tidak memiliki anggota bilangan genap), maka setiap polinomial $f(x)$ berderajat ganjil memiliki akar (karena $(x^{2}+1)^{k}f(x)$ memiliki akar, dengan $k$ dipilih sedemikian sehingga $\deg(f)+2k\in I$ . Mohsen Aliabadi memperluas^{[diragukan – diskusikan]} hasil dari Shipman pada 2013, membuktikan secara independen bahwa syarat cukup untuk sembarang lapangan (dengan sembarang karakteristik) agar menjadi tertutup secara aljabar adalah dengan menunjukkan lapangan tersebut memiliki akar untuk polinomial berderajat prima.^[13]

Dengan teori Galois

Metode lain untuk membuktikan teorema dasar ini adalah dengan menggunakan teori Galois, cukup dengan menunjukkan bahwa $\mathbb {C}$ tidak memiliki perluasan lapangan sejati. Misalkan $K/\mathbb {C}$ adalah perluasan berhingga. Karena penutup normal dari $K$ atas lapangan $\mathbb {R}$ berderajat hingga atas lapangan $\mathbb {C}$ (atau $\mathbb {R}$ ), tanpa mengurangi keumuman, asumsikan $K$ adalah perluasan normal dari $\mathbb {R}$ (sehingga merupakan perluasan Galois, mengingat setiap perluasan aljabar dari lapangan dengan karakteristik 0 bersifat terpisahkan). Misalkan $G$ adalah grup Galois dari perluasan $K/\mathbb {R}$ , dan $H$ adalah subgrup-2 Sylow dari $G$ , sehingga orde dari $H$ adalah perpangkatan dari bilangan 2 dan indeks subgrup $H$ di $G$ bernilai ganjil. Dari teorema dasar teori Galois, terdapat subperluasan $L$ dari $K/\mathbb {R}$ sedemikian sehingga $\mathrm {Gal} (K/L)=H$ . Karena $[L:\mathbb {R} ]=[G:H]$ bernilai ganjil dan tidak ada polinomial real nonlinear berderajat ganjil yang tidak dapat direduksi, maka $L=\mathbb {R}$ , sehingga $[K:\mathbb {R} ]$ dan $[K:\mathbb {C} ]$ adalah perpangkatan dari bilangan 2. Dengan metode kontradiksi, asumsikan bahwa $[K:\mathbb {C} ]>1$ , sehingga orde dari grup $\mathrm {Gal} (K/C)$ adalah perpangkatan dari bilangan 2, maka terdapat subperluasan $M$ dari $K/\mathbb {C}$ yang memiliki derajat 2. Akan tetapi, lapangan $\mathbb {C}$ tidak memiliki perluasan berderajat 2, sebab setiap polinomial kompleks kuadrat memiliki akar kompleks, sebagaimana yang telah disebutkan di atas. Ini menunjukkan bahwa $[K:\mathbb {C} ]=1$ , sehingga $K=C$ . Dengan demikian, bukti ini selesai.

Akibat

Karena teorema dasar aljabar dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa lapangan bilangan kompleks tertutup secara aljabar, maka segala teorema mengenai lapangan tertutup secara aljabar berlaku untuk lapangan bilangan kompleks. Berikut adalah beberapa akibat teorema dasar aljabar mengenai lapangan bilangan real dan hubungannya dengan lapangan bilangan kompleks.

Lapangan bilangan kompleks adalah penutup aljabar lapangan bilangan real.
Setiap polinomial variabel tunggal $z$ dengan koefisien kompleks adalah hasil kali dari suatu konstanta kompleks dan faktor-faktor linear berbentuk $z+a$ , dengan $a$ suatu bilangan kompleks.
Setiap polinomial variabel tunggal $x$ dengan koefisien real dapat secara unik dituliskan sebagai hasil kali konstanta $x+a$ dengan $a$ real, dan polinomial berbentuk $x^{2}+bx+c$ dengan $b,c$ real dan $b^{2}-4c<0$ (ini sama saja dengan $x^{2}+bx+c=0$ tidak memiliki solusi real). Ini mengimplikasikan bahwa banyaknya akar kompleks tidak real selalu genap, baik dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar maupun tidak.
Setiap perluasan aljabar dari lapangan bilangan real isomorfis dengan lapangan bilangan real atau lapangan bilangan kompleks.
Setiap fungsi rasional variabel tunggal $x$ dengan koefisien real dapat dituliskan sebagai jumlah fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk $1/(x-a)$ (dengan $a$ bilangan real) dan fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk $ax+b/(x^{2}+cx+d)^{n}$ (dengan $n$ bilangan asli, dan $a,b,c,d$ bilangan real sedemikian sehingga $c^{2}-4d<0$ ). Akibatnya, setiap fungsi rasional variabel tunggal dengan koefisien real memiliki antiderivatif yang elementer.

Batas pada akar dari polinomial

Dari perspektif teoretis ataupun perspektif praktis tertentu, lokasi dari akar-akar suatu polinomial merupakan informasi yang berharga. Sayangnya, walaupun teorema dasar aljabar telah menunjukkan adanya akar dari polinomial variabel tunggal, teorema ini tidak memberikan informasi mengenai lokasi dari akar polinomial variabel tunggal. Salah satu hasil terkait lokasi akar polinomial variabel tunggal yang relatif sederhana diberikan oleh batas pada modulus berikut: semua akar $\zeta$ pada polinomial monik $z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0}$ memenuhi pertidaksamaan $|\zeta |\leq R_{\infty }$ , dengan

$R_{\infty }=1+\max\{|a_{0}|,\dots ,|a_{n-1}|\}.$

Perhatikan bahwa hasil ini tidak menyatakan bahwa polinomial variabel tunggal memiliki akar, namun hanyalah pernyataan jika suatu polinomial memiliki akar, maka akar tersebut terdapat pada cakram tertutup berpusat di titik asal dengan jari-jari $R_{\infty }$ . Namun, hasil ini bersama-sama dengan teorema dasar aljabar menyatakan bahwa cakram tertutup tersebut memuat setidaknya satu akar. Secara lebih luas, batas pada akar polinomial dapat diberikan dengan menggunakan norma-p dari vektor koefisien polinomial $a:=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1}),$ yaitu $|\zeta |\leq R_{p}$ , dengan $R_{p}$ merupakan norma-q dari vektor $(1,\|a\|_{p}),$ dengan $q$ adalah eksponen konjugat dari $p$ , atau dengan kata lain ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ , untuk $1\leq p\leq \infty$ . Maka, modulus dari akar-akar polinomial dibatasi juga oleh $R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},$ $R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},$

dengan $1<p<\infty ,$ dan khususnya, $R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}$ (dengan $a_{n}=1$ , yang masuk akal karena koefisien $z^{n}$ pada polinomial adalah 1). Kasus umum untuk sembarang polinomial berderajat $n$ , $P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0},$ tentunya dapat direduksi ke kasus polinomial monik dengan membagi semua koefisien dengan $a_{n}\neq 0$ . Jika 0 bukan akar dari polinomial tersebut, i.e. $a_{0}\neq 0$ , batas bawah dari $\zeta$ adalah batas atas dari $1/\zeta$ , yaitu, akar-akar dari $a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\dots +a_{n-1}z+a_{n}.$

Dari uraian di atas, batas atas dan batas bawah jarak $|\zeta -\zeta _{0}|$ dari akar $\zeta$ ke sembarang titik $\zeta _{0}$ dapat ditentukan, dengan memandang $\zeta -\zeta _{0}$ sebagai akar dari polinomial $P(z+\zeta _{0})$ , yang koefisiennya adalah ekspansi Taylor dari $P(z)$ pada $z=\zeta _{0}$ .

Untuk membuktikan $|\zeta |\leq R_{p}$ , misalkan $\zeta$ adalah akar dari polinomial $z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0};$ sehingga dapat diasumsikan $|\zeta |<1.$ Maka, $-\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\dots +a_{1}\zeta +a_{0};$ dan dengan menggunakan pertidaksamaan Hölder diperoleh bahwa $|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\|(\zeta ^{n-1},\dots ,\zeta ,1)\|_{q}.$

Khususnya, jika $p=1$ , $|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max\{|\zeta |^{n-1},\dots ,|\zeta |,1\}=\|a\|_{1}\|\zeta |^{n-1},$ maka $|\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.$

Jika $1<p\leq \infty$ , dengan menggunakan rumus deret geometri diperoleh bahwa

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}(|\zeta |^{q(n-1)}+\dots +|\zeta |^{q}+1)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},$ maka $|\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}$ yang dapat disederhanakan menjadi $\|\zeta \|^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.$ Maka $|\zeta \|\leq \|(1,\|a_{p}\|)\|_{q}=R_{p},$ untuk $1\leq p\leq \infty .$

Lihat pula

Teorema faktorisasi Weierstrass, sebuah generalisasi dari teorema tersebut ke seluruh fungsi lainnya

Referensi

Kutipan

↑ Bahkan bukti bahwa persamaan $x^{2}-2=0$ memiliki solusi melibatkan definisi bilangan real melalui beberapa bentuk kelengkapan (khususnya).
↑ Rare books
↑ Lihat bagian Le rôle d'Euler dalam artikel C. Gilain Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral.
↑ Mengenai bukti Wood, lihat artikel Makalah yang terlupakan tentang teorema dasar aljabar , oleh Frank Smithies.
↑ Smale writes, "...Saya ingin menunjukkan betapa besarnya celah yang terkandung dalam bukti Gauss. Bahkan sekarang ini adalah titik halus bahwa kurva bidang aljabar nyata tidak dapat memasuki cakram tanpa keluar. Faktanya, meskipun Gauss memperbaiki bukti ini 50 tahun kemudian, kesenjangan tetap ada. Baru pada tahun 1920 pembuktian Gauss selesai. Dalam referensi Gauss. Ostrowski memiliki makalah yang melakukan ini dan memberikan diskusi yang sangat baik tentang masalahnya juga..."
↑ John J. O'Connor and Edmund F. Robertson. Jean-Robert Argand di MacTutor archive.
↑ Untuk kebutuhan minimum untuk membuktikan kesetaraan mereka, lihat Bridges, Schuster, dan Richman; 1998; Prinsip pilihan yang dapat dihitung yang lemah; available from Diarsipkan 2020-02-19 di Wayback Machine..
↑ See Fred Richman; 1998; Teorema fundamental aljabar: perkembangan konstruktif tanpa pilihan; tersedia dari Diarsipkan 2020-02-19 di Wayback Machine..
↑ Aigner, Martin (2018). Proofs from THE BOOK. Günter M. Ziegler (Edisi Sixth edition). Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-662-57265-8. OCLC 1040612781. Pemeliharaan CS1: Lokasi tanpa penerbit (link)
↑ Ahlfors, Lars. Complex Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Book Company. hlm. 122. Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Sebuah bukti dari fakta bahwa ini cukup dapat dilihat di sini.
↑ Shipman, J. Improving the Fundamental Theorem of Algebra The Mathematical Intelligencer, Volume 29 (2007), Number 4. pp. 9-14. doi:10.1007/BF02986170
↑ M. Aliabadi, M. R. Darafsheh, On maximal and minimal linear matching property, Algebra and discrete mathematics, Volume 15 (2013). Number 2. pp. 174–178

Sumber bersejarah

Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, Paris: Éditions Jacques Gabay (dipublikasikan 1992), ISBN 978-2-87647-053-8 (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
Euler, Leonhard (1751), "Recherches sur les racines imaginaires des équations", Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, hlm. 222–288, diarsipkan dari asli tanggal 2008-12-24, diakses tanggal 2021-03-10 . English translation: Euler, Leonhard (1751), "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, hlm. 222–288
Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke, vol. Band III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp. 1–31., hlm. 1, pada Google Books – first proof.
2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56., hlm. 32, pada Google Books – second proof.
3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64., hlm. 57, pada Google Books – third proof.
4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp. 71–103., hlm. 71, pada Google Books – fourth proof.
Kneser, Hellmuth (1940), "Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus", Mathematische Zeitschrift, vol. 46, hlm. 287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874 (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
Kneser, Martin (1981), "Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra", Mathematische Zeitschrift, vol. 177, no. 2, hlm. 285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874 (tr. An extension of a work of Hellmuth Kneser on the Fundamental Theorem of Algebra).
Ostrowski, Alexander (1920), "Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra", Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2 (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
Weierstraß, Karl (1891). "Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen". Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. hlm. 1085–1101. Diarsipkan dari asli tanggal 2013-11-02. Diakses tanggal 2021-03-10. ; (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

Recent literature

Almira, J.M.; Romero, A. (2007), "Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere", Bulletin of the Belgian Mathematical Society, vol. 14, hlm. 341–342
Almira, J.M.; Romero, A. (2012), "Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra" (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, vol. 14, hlm. 1–4
de Oliveira, O.R.B. (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", Mathematical Intelligencer, vol. 33, no. 2, hlm. 1–2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2
de Oliveira, O.R.B. (2012), "The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations", American Mathematical Monthly, vol. 119, no. 9, hlm. 753–758, arXiv:1110.0165, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753
Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356
Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), "On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra", Proceedings of the AMS, vol. 103, no. 1, hlm. 331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN 0002-9939, JSTOR 2047574
Gilain, Christian (1991), "Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral", Archive for History of Exact Sciences, vol. 42, no. 2, hlm. 91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519 (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)
Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), "Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental", dalam Meyer, François; Molk, Jules (ed.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, Éditions Jacques Gabay (dipublikasikan 1992), ISBN 978-2-87647-101-6 (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
Remmert, Reinhold (1991), "The Fundamental Theorem of Algebra", dalam Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (ed.), Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2
Shipman, Joseph (2007), "Improving the Fundamental Theorem of Algebra", Mathematical Intelligencer, vol. 29, no. 4, hlm. 9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993
Smale, Steve (1981), "The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory", Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, vol. 4, no. 1
Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 978-0-486-64690-9
Smithies, Frank (2000), "A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra", Notes & Records of the Royal Society, vol. 54, no. 3, hlm. 333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149
Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra – English translation of Gauss's second proof.
van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, vol. I (Edisi 7th), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40624-4

Pranala luar

Wikisource Latin memiliki teks asli yang berkaitan dengan artikel ini:

Gauss's first proof

Algebra, fundamental theorem of at Encyclopaedia of Mathematics
Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs
D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, PDF (unpublished paper) Diarsipkan 2016-06-16 di Wayback Machine., visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs
From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path
Gauss's first proof (in Latin) pada Google Books
Gauss's first proof (in Latin) pada Google Books
Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74