Prasejarah

Teori Galois berasal dari studi tentang fungsi simetris, koefisien dari sebuah polinomial monik adalah (sampai tanda) polinomial simetris elementer di akar. Misalnya, (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab, dimana 1, a + b dan ab adalah polinomial dasar derajat 0, 1 dan 2 dalam dua variabel.

Ini pertama kali diresmikan oleh ahli matematika Prancis abad ke-16 François Viète, dalam Rumus Viète, untuk kasus akar nyata positif. Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton,^[2] ekspresi koefisien polinomial dalam hal akar (tidak hanya untuk akar positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 Albert Girard; Hutton menulis:

...[Girard adalah] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien pangkat dari penjumlahan akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahkan pangkat dari akar persamaan apa pun.

Dalam urat ini, diskriminan adalah fungsi simetris dalam akar yang mencerminkan sifat-sifat akar, nilai nol jika dan hanya jika polinomial memiliki akar ganda, dan untuk polinomial kuadrat dan kubik bernilai positif jika dan hanya jika semua akar nyata dan berbeda, dan negatif jika dan hanya jika terdapat sepasang akar konjugasi kompleks yang berbeda. Lihat Diskriminan:Sifat dasar untuk detailnya.

Kubik pertama kali sebagian diselesaikan oleh ahli matematika Italia abad ke-15-16 Scipione del Ferro, yang tidak memublikasikan hasilnya; metode ini, meskipun, hanya menyelesaikan satu jenis persamaan kubik. Solusi ini kemudian ditemukan kembali secara independen pada tahun 1535 oleh Niccolò Fontana Tartaglia, yang membaginya dengan Gerolamo Cardano, memintanya untuk tidak menerbitkannya. Cardano kemudian memperluas ini ke banyak kasus lain, dengan menggunakan argumen serupa; lihat detail selengkapnya di Metode Cardano. Setelah penemuan karya del Ferro, ia merasa bahwa metode Tartaglia bukan lagi rahasia, dan karenanya ia menerbitkan solusinya pada tahun 1545. Ars Magna.^[3] Muridnya Lodovico Ferrari memecahkan masalah polinomial kuartik; solusinya juga disertakan Ars Magna. Namun, dalam buku ini, Cardano tidak memberikan "rumus umum" untuk penyelesaian persamaan kubik, karena ia tidak memiliki bilangan kompleks yang tersedia, atau notasi aljabar untuk dapat menggambarkan persamaan kubik umum. Dengan keunggulan notasi modern dan bilangan kompleks, rumus-rumus dalam buku ini berfungsi dalam kasus umum, tapi Cardano tidak mengetahui hal ini. Adalah Rafael Bombelli yang berhasil memahami cara bekerja dengan bilangan kompleks untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan kubik.

Langkah selanjutnya adalah kertas 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations oleh matematikawan Prancis-Italia Joseph Louis Lagrange, dalam metode resolusi Lagrange, di mana ia menganalisis solusi kubik dan kuartik Cardano dan Ferrari dengan mempertimbangkannya dalam istilah permutasi dari akar, yang menghasilkan polinomial tambahan dengan derajat yang lebih rendah, memberikan pemahaman terpadu tentang solusi dan meletakkan dasar untuk teori grup dan teori Galois. Yang terpenting, bagaimanapun, dia tidak mempertimbangkan komposisi permutasi. Metode Lagrange tidak meluas ke persamaan kuintik atau lebih tinggi, karena resolvent memiliki derajat yang lebih tinggi.

Quintic hampir terbukti tidak memiliki solusi umum oleh radikal oleh Paolo Ruffini pada tahun 1799, yang wawasan utamanya adalah menggunakan permutasi grup , bukan hanya permutasi tunggal. Solusinya mengandung celah, yang dianggap Cauchy kecil, meskipun ini tidak ditambal sampai karya matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel, yang menerbitkan bukti pada tahun 1824, sehingga menetapkan Teorema Abel-Ruffini.

Sementara Ruffini dan Abel menetapkan bahwa kuintik umum tidak dapat diselesaikan, beberapa quintics tertentu dapat dipecahkan, seperti x⁵ - 1 = 0, dan kriteria yang tepat untuk menentukan polinomial kuintik yang diberikan atau lebih tinggi dapat dipecahkan atau tidak diberikan oleh Évariste Galois, yang menunjukkan bahwa polinomial dapat dipecahkan atau tidak sama dengan apakah grup permutasi akarnya atau tidak dalam istilah modern, its Galois group memiliki struktur tertentu dalam istilah modern, apakah itu adalah kelompok yang dapat dipecahkan. Kelompok ini selalu dapat dipecahkan untuk polinomial dengan derajat empat atau kurang, tetapi tidak selalu demikian untuk polinomial derajat lima dan lebih besar, yang menjelaskan mengapa tidak ada solusi umum dalam derajat yang lebih tinggi.

Tulisan Galois

Pada tahun 1830 Galois (pada usia 18) mengirimkan ke Paris Academy of Sciences sebuah memoar tentang teorinya tentang solvabilitas oleh radikal; Makalah Galois akhirnya ditolak pada tahun 1831 karena terlalu samar dan untuk memberikan kondisi dalam hal akar persamaan, bukan koefisiennya. Galois kemudian tewas dalam duel pada tahun 1832, dan kertasnya, "Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux", tetap tidak diterbitkan sampai tahun 1846 ketika diterbitkan oleh Joseph Liouville disertai dengan beberapa penjelasannya sendiri.^[4] Prior to this publication, Liouville announced Galois' result to the Academy in a speech he gave on 4 July 1843.^[5] Menurut Allan Clark, karakterisasi Galois "secara dramatis menggantikan karya Abel dan Ruffini."^[6]

Akibat

Teori Galois sangat sulit dipahami oleh orang-orang sezamannya, terutama pada tingkat di mana mereka dapat mengembangkannya. Misalnya, dalam komentarnya tahun 1846, Liouville benar-benar melewatkan inti teori-grup dari metode Galois.^[7] Joseph Alfred Serret yang menghadiri beberapa ceramah Liouville, termasuk teori Galois dalam bukunya tahun 1866 (edisi ketiga) Cours d'algèbre supérieure. Murid Serret, Camille Jordan, memiliki pemahaman yang lebih baik yang tecermin dalam bukunya tahun 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques. Di luar Prancis, teori Galois tetap lebih tidak jelas untuk periode yang lebih lama. Di Inggris, Cayley gagal untuk memahami kedalamannya dan buku teks aljabar Inggris yang populer bahkan tidak menyebutkan teori Galois sampai jauh setelah pergantian abad. Di Jerman, Tulisan Kronecker lebih berfokus pada hasil Abel. Dedekind menulis sedikit tentang teori Galois, tetapi memberi ceramah tentangnya di Göttingen pada tahun 1858, menunjukkan pemahaman yang sangat baik.^[8] Buku Eugen Netto tahun 1880-an, berdasarkan Traité Jordan, membuat teori Galois dapat diakses oleh audiens Jerman dan Amerika yang lebih luas seperti halnya buku teks aljabar Heinrich Martin Weber tahun 1895.^[9]

Contoh pertama: persamaan kuadrat

Pertimbangkan persamaan kuadrat

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0.}$

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita menemukan bahwa kedua akar tersebut adalah

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

Contoh persamaan aljabar dipenuhi oleh A dan B termasuk

${\displaystyle A+B=4,}$

dan

${\displaystyle AB=1.}$

Jika kita menukar A dan B di salah satu dari dua persamaan terakhir kita mendapatkan pernyataan benar lainnya. Misalnya persamaan A + B = 4 menjadi B + A = 4. Lebih umum benar bahwa ini berlaku untuk setiap yang mungkin hubungan aljabar antara A dan B sedemikian rupa sehingga semua koefisien adalah bilangan rasional; yaitu, dalam hubungan seperti itu, menukar A dan B menghasilkan relasi benar lainnya. Ini hasil dari teori polinomial simetris, yang, dalam hal ini, dapat diganti dengan manipulasi rumus yang melibatkan teorema binomial. (Orang mungkin keberatan bahwa A dan B terkait dengan persamaan aljabar A − B − 2√3 = 0, yang tidak tetap benar saat A dan B dipertukarkan. Namun, hubungan ini tidak dipertimbangkan di sini, karena memiliki koefisien −2√3 yang tidak rasional.)

Contoh kedua

Pertimbangkan polinomial

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1,}$

yang juga bisa ditulis sebagai

${\displaystyle \left(x^{2}-5\right)^{2}-24.}$

Kami ingin mendeskripsikan kelompok Galois dari polinomial ini, sekali lagi dalam bidang bilangan rasional. Polinomial memiliki empat akar:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

Ada 24 kemungkinan cara untuk mengubah keempat akar ini, tetapi tidak semua permutasi ini adalah anggota grup Galois. Anggota kelompok Galois harus mempertahankan persamaan aljabar apa pun yang melibatkan koefisien rasional A, B, C dan D.

Di antara persamaan ini, kami memiliki:

${\displaystyle {\begin{aligned}AB&=-1\\AC&=1\\A+D&=0\end{aligned}}}$

Oleh karena itu, jika φ adalah permutasi yang termasuk dalam grup Galois, kita harus memiliki:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (B)&={\frac {-1}{\varphi (A)}},\\\varphi (C)&={\frac {1}{\varphi (A)}},\\\varphi (D)&=-\varphi (A).\end{aligned}}}$

Ini menyiratkan bahwa permutasi ditentukan dengan baik oleh gambar A , dan bahwa grup Galois memiliki 4 elemen, yaitu:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A)

Ini menyiratkan bahwa golongan Galois isomorfik dari grup empat Klein.