Artikel ini perlu dikembangkan dari artikel terkait di Wikipedia bahasa Inggris. (Desember 2024) klik [tampil] untuk melihat petunjuk sebelum menerjemahkan. Lihat versi terjemahan mesin dari artikel bahasa Inggris. Terjemahan mesin Google adalah titik awal yang berguna untuk terjemahan, tapi penerjemah harus merevisi kesalahan yang diperlukan dan meyakinkan bahwa hasil terjemahan tersebut akurat, bukan hanya salin-tempel teks hasil terjemahan mesin ke dalam Wikipedia bahasa Indonesia. Jangan menerjemahkan teks yang berkualitas rendah atau tidak dapat diandalkan. Jika memungkinkan, pastikan kebenaran teks dengan referensi yang diberikan dalam artikel bahasa asing. Setelah menerjemahkan, {{Translated|en|Permutation}} harus ditambahkan di halaman pembicaraan untuk memastikan kesesuaian hak cipta. Untuk panduan lebih lanjut, lihat Wikipedia:Panduan dalam menerjemahkan artikel.

Permutasi (bahasa Belanda: permutatiecode: nl is deprecated , bahasa Inggris: permutationcode: en is deprecated ) adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Pengertian

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

  abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb
  bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca
  cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba
  dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

  ''Kartu            Kotak kosong''
  -----------      ---------------
  '''a  b  c  d'''       [ ] [ ] [ ] [ ]

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]
                   ^ 4 pilihan: a, b, c, d

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]
                       ^ 3 pilihan: a, c, d

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]
                           ^ 2 pilihan: a, c

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]
                               ^ 1 pilihan: a

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 *  *  *  *       [b] [d] [c] [a]

Bilangan Inversi

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

Posisi	Unsur	Bilangan	Keterangan
0	d	3	Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
2	c	1	Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
3	f	2	Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d.
4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
6	b	0	Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:

Diberikan sebuah untai S, tentukan:

• Semua permutasi dari S
• Semua permutasi n-elemen dari S
• Permutasi berikutnya setelah S
• Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

 ab  ac  ad
 ba  bc  bd
 ca  cb  cd
 da  db  dc

 abc  abd  acb  acd  adb  adc
 bac  bca  bad  bda  bcd  bdc
 cab  cba  cad  cda  cbd  cdb
 dab  dba  dac  dca  dbc  dcb

  ''aabc  aacb  abac  abca''
  ''acab  acba  baac  baca''
  ''bcaa  caab  caba  cbaa''

   ''a<sub>0</sub>a<sub>1</sub>bc  a<sub>1</sub>a<sub>0</sub>bc''  =  '''''aabc'''''
   ''a<sub>0</sub>a<sub>1</sub>cb  a<sub>1</sub>a<sub>0</sub>cb''  =  '''''aacb'''''
   ''a<sub>0</sub>ba<sub>1</sub>c  a<sub>1</sub>ba<sub>0</sub>c''  =  '''''abac'''''
   ''a<sub>0</sub>bca<sub>1</sub>  a<sub>1</sub>bca<sub>0</sub>''  =  '''''abca'''''
   ''a<sub>0</sub>ca<sub>1</sub>b  a<sub>1</sub>ca<sub>0</sub>b''  =  '''''acab'''''
   ''a<sub>0</sub>cba<sub>1</sub>  a<sub>1</sub>cba<sub>0</sub>''  =  '''''acba'''''
   ''ba<sub>0</sub>a<sub>1</sub>c  ba<sub>1</sub>a<sub>0</sub>c''  =  '''''baac'''''
   ''ba<sub>0</sub>ca<sub>1</sub>  ba<sub>1</sub>ca<sub>0</sub>''  =  '''''baca'''''
   ''bca<sub>0</sub>a<sub>1</sub>  bca<sub>1</sub>a<sub>0</sub>''  =  '''''bcaa'''''
   ''ca<sub>0</sub>a<sub>1</sub>b  ca<sub>1</sub>a<sub>0</sub>b''  =  '''''caab'''''
   ''ca<sub>0</sub>ba<sub>1</sub>  ca<sub>1</sub>ba<sub>0</sub>''  =  '''''caba'''''
   ''cba<sub>0</sub>a<sub>1</sub>  cba<sub>1</sub>a<sub>0</sub>''  =  '''''cbaa'''''

 ''    h  a    ''
 ''  g      b  ''
 ''  f      c  ''
 ''    e  d    ''

 abcdefgh
 bcdefgha
 cdefghab
 defghabc
 efghabcd
 fghabcde
 ghabcdef
 habcdefg

 a bcdefgh
   --------
   ^ bagian yang dipermutasikan

Contoh penggunaan permutasi

• Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KUKUS"?

${\displaystyle {\frac {5!}{{2!}{2!}}}=30}$ cara

• 4 bendera merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika:
  • Bebas

${\displaystyle {\frac {11!}{{4!}{2!}{5!}}}=6,930}$ cara

• • 2 bendera putih harus ditengah

${\displaystyle {\frac {{2!}{9!}}{{4!}{2!}{5!}}}=126}$ cara

• Ada berapa cara bila 4 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika:
  • Posisi bebas

${\displaystyle {4!}=24}$ cara

• • Dua orang harus berdampingan

${\displaystyle {2!}\times {((4-2)+1)!}={2!}\times {(2+1)!}=2\times 3\times 2=12}$ cara

• • Hanya dua orang diundang

${\displaystyle P_{2}^{4}={\frac {4!}{(4-2)!}}={4!}\cdot {2!}={\frac {4\cdot 3\cdot 2!}{2!}}=12}$ cara

• Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika:
  • Bebas

${\displaystyle {8!}=40,320}$ cara

• • Hanya pria berdampingan

${\displaystyle {4!}\times {((8-4)+1)!}={4!}\times {(4+1)!}=2,880}$ cara

• • pria dan wanita harus berdampingan

${\displaystyle {4!}\times {4!}\times {(0+2)!}=1,152}$ cara

• • pria dan wanita selang seling

${\displaystyle {4!}\times {4!}\times 2=1,152}$ cara

• Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika:
  • Posisi bebas

${\displaystyle {(10-1)!}=362,880}$ cara

• • Dua orang harus berdampingan

${\displaystyle {2!}\times {((10-2)-1+1)!}={2!}\times {(8-1+1)!}=80,640}$ cara

• • Hanya dua orang diundang

${\displaystyle P_{2}^{(10-1)}=P_{2}^{9}={\frac {9!}{(9-2)!}}={\frac {9!}{7!}}={\frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!}}=72}$ cara

• Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika:
  • Bebas

${\displaystyle {10!}=3,628,800}$ cara

• • Hanya kimia berkelompok

${\displaystyle {5!}\times {(5+1)!}=86,400}$ cara

• • Semua berkelompok masing-masing

${\displaystyle {5!}\times {3!}\times {2!}\times {(0+3)!}=8,640}$ cara

• Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 15 murid. Ada berapa carakah jabatan tersebut dipilih?

${\displaystyle P_{3}^{15}={\frac {15!}{(15-3)!}}={\frac {15!}{12!}}={\frac {15\cdot 14\cdot 13\cdot 12!}{12!}}=2,730}$ cara

Lihat pula

• Faktorial
• Kombinasi dan permutasi
• Kombinasi
• Permutadik
• Membangkitkan Permutasi

Pranala luar

• Using Permutations in .NET for Improved Systems Security
• (Inggris) Kalkulator Permutasi and Kombinasi