Minor pertama

Jika ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri baris ke-${\displaystyle i}$ dan kolom ke-${\displaystyle j}$ matriks tersebut, adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-${\displaystyle i}$ dan kolom ke-${\displaystyle j}$. Determinan ini juga disebut dengan minor ${\displaystyle (i,j)}$, atau minor pertama^[1]. Bilangan ini sering kali dilambangkan ${\displaystyle M_{i,j}}$. Bilangan lain yang disebut kofaktor ${\displaystyle C_{i,j}}$, diperoleh dengan mengalikan minor tersebut oleh ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$.

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi tersebut, tinjau matriks ${\displaystyle 3\times 3}$ berikut,$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}}$$Minor ${\displaystyle M_{2,3}}$ didapatkan dari menghitung determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus:$${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13,}$$dan kofaktor ${\displaystyle C_{2,3}}$ adalah$${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$$

Definisi umum

Misalkan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks berukuran ${\displaystyle m\times n}$ dan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan bulat dengan ${\displaystyle 0<k\leq m}$, dan ${\displaystyle k\leq n}$. Minor ${\displaystyle k\times k}$ dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah determinan dari suatu matriks berukuran ${\displaystyle k\times k}$ yang diperoleh dengan menghapus ${\displaystyle m-k}$ baris dan ${\displaystyle n-k}$ kolom dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Determinan ini juga disebut sebagai determinan minor orde-${\displaystyle k}$ dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$, atau ketika ${\displaystyle m=n}$, disebut dengan determinan minor ke-${\displaystyle (n-k)}$ dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$.^{[note 1]} Untuk matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ tersebut, terdapat sebanyak ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ minor berukuran ${\displaystyle k\times k}$. Minor orde-nol sering didefinisikan bernilai ${\displaystyle 1}$. Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol sama saja dengan determinan dari matriks.^[2][3]

Misalkan ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m}$ dan ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}$ adalah barisan dari indeks,^{[note 2]} sebut mereka masing-masing sebagai ${\displaystyle I}$ dan ${\displaystyle J}$. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor$${\displaystyle \det \left((\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$$yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor dapat berupa ${\textstyle \det _{I,J}\mathbf {A} }$, ${\textstyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$, ${\textstyle M_{I,J}}$, ${\textstyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$, atau ${\displaystyle M_{(i),(j)}}$ (dengan ${\displaystyle (i)}$ melambangkan barisan indeks ${\displaystyle I}$, dst.). Lebih lanjut, terdapat dua gaya notasi digunakan dalam literaturː beberapa penulis^[4] menganggap minor dengan indeks ${\displaystyle I}$ dan ${\displaystyle J}$, merujuk pada determinan dari submatriks sesuai definisi di atas, yang anggota-anggotanya berasal dari matriks asli, dengan indeks barisnya ada di ${\displaystyle I}$ dan indeks kolomnya ada di ${\displaystyle J}$. Sedangkan beberapa penulis lainnya, merujuk pada submatriks yang dihasilkan dari menghapus baris-baris di ${\displaystyle I}$ dan menghapus kolom-kolom di ${\displaystyle J}$.^[2] Pilihan notasi yang digunakan perlu dipastikan dari sumber yang digunakan. Pengecualian untuk kedua gaya notasi yang berbeda ini adalah kasus minor-${\displaystyle (i,\,j)}$; definisi$${\displaystyle M_{i,j}=\det \left(\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$$telah menjadi standar dimanapun, dan dipakai dalam artikel ini.

Ekspansi kofaktor dari determinan

Konsep kofaktor sangat berperan dalam rumus ekspansi Laplace, yakni suatu metode untuk menghitung determinan matriks berukuran besar menggunakan determinan matriks-matriks yang berukuran lebih kecil. Untuk sebarang matriks ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ berukuran ${\displaystyle n\times n}$, determinan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ yang dilambangkan dengan ${\displaystyle \det {(\mathbf {A} )}}$, dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari perkalian kofaktor-kofaktor setiap baris (maupun setiap kolom) matriks dengan entri-entri matriks yang menghasilkan kofaktor-kofaktor tersebut. Secara lebih matematis, dengan menuliskan ${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$, ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-${\displaystyle i}$ dapat dituliskan sebagai$${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}.}$$Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-${\displaystyle j}$ dapat dituliskan$${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}.}$$

Invers dari matriks

Invers dari matriks terbalikkan dapat dihitung dari kofaktor-kofaktornya dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {C} }$ adalah matriks yang dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Matriks ini disebut matriks kofaktor memiliki bentuk matematis$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}.}$$Invers dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ selanjutnya dapat dinyatakan sebagai transpos dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ː$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$$Transpos dari matriks kofaktor juga dikenal sebagai matriks adjoin dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Rumus di atas dapat diperumum sebagai berikut. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah sebarang matriks persegi ${\displaystyle n\times n}$, dan ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$ dan ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}$ adalah barisan (dengan urutan menaik) dari indeks-indeks ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Berlaku hubungan^[5]

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$

dengan ${\displaystyle I'}$ dan ${\displaystyle J'}$ melambangkan barisan urutan dari indeks (juga dengan urutan menaik), yang komplementer dengan ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$. Artinya setiap indeks ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ muncul tepat sekali di salah satu ${\displaystyle I}$ atau ${\displaystyle I'}$, tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk ${\displaystyle J}$ dan ${\displaystyle J'}$). Simbol ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$ melambangkan determinan dari submatriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks ${\displaystyle I}$ dan kolom dari himpunan indeks ${\displaystyle J}$; secara matematis,$${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right).}$$

Penerapan lainnya

Untuk sebarang matriks ${\displaystyle m\times n}$ dengan entri bilangan riil (atau entri dari sebarang lapangan lainnya) dan rank ${\displaystyle r}$, terdapat setidaknya satu minor ${\displaystyle r\times r}$ yang tak-nol, sedangkan semua minor-minor yang lebih besar bernilai nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks berukuran ${\displaystyle m\times n}$, ${\displaystyle I}$ adalah subset dari ${\displaystyle \{1,\dots ,m\}}$ dengan ${\displaystyle k}$ anggota, dan ${\displaystyle J}$ adalah subset dari ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ dengan ${\displaystyle k}$ anggota. Notasi ${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]_{I,J}}$ untuk minor ${\displaystyle k\times k}$ dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$, dihasilkan dari mengambil elemen-elemen matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$, yang indeks barisnya ada di ${\displaystyle I}$ dan indeks kolomnya ada di ${\displaystyle J}$.

• Jika ${\displaystyle I=J}$, maka ${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]_{I,J}}$ disebut minor utama (principal minor).
• Jika matriks yang berkorespodensi dengan minor utama adalah submatriks yang terletak di bagian atas-kiri dari matriks yang besar (artinya, matriks tersebut beranggotakan elemen yang baris-dan-kolomnya memiliki indeks dari ${\displaystyle 1}$ hingga ${\displaystyle k}$), maka minor utama disebut minor utama terdepan (leading principal minor).^[3] Untuk matriks persegi ${\displaystyle n\times n}$, ada sebanyak ${\displaystyle n}$ minor utama terdepan.
• Untuk matriks Hermite, minor utama terdepan dapat digunakan untuk menguji sifat ketentuan positif (positive definiteness) dan minor utama dapat digunakan untuk menguji sifat kesemitentuan positif (semidefiniteness positive). Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Baik rumus untuk perkalian matriks biasa maupun rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari perkalian dua matriks, adalah kasus khusus dari pernyataan umum berikut terkait minor-minor dari perkalian dua matriks. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks ukuran ${\displaystyle m\times n}$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ adalah matriks ukuran ${\displaystyle n\times p}$, ${\displaystyle I}$ adalah subset dari ${\displaystyle \{1,\dots ,m\}}$ dengan ${\displaystyle k}$ anggota, dan ${\displaystyle J}$ adalah subset dari ${\displaystyle \{1,\dots ,p\}}$ dengan ${\displaystyle k}$ anggota. Terdapat hubungan$${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$$dengan penjumlahan dilakukan atas semua subset ${\displaystyle K}$ yang mungkin dari himpunan ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ dengan ${\displaystyle k}$ anggota. Rumus ini merupakan sebuah perumuman langsung dari rumus Cauchy–Binet.