Kesetaraan antar definisi

Untuk sebarang ruang vektor ${\displaystyle V}$ atas lapangan ${\displaystyle K,}$ himpunan semua kombinasi linear dari subset ${\displaystyle S}$ dari ${\displaystyle V,}$ adalah subruang terkecil dari ${\displaystyle V}$ yang mengandung ${\displaystyle S.}$

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ adalah subruang dari ${\displaystyle V.}$ Karena ${\displaystyle S}$ adalah subset dari ${\displaystyle V,}$ kita cukup membuktikan bahwa vektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ anggota dari ${\displaystyle {\text{span}}(S),}$ bahwa ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ dibawah penjumlahan, dan bahwa ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di ${\displaystyle V}$ ada di ${\displaystyle {\text{span}}(S),}$ karena ${\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}.}$ Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari ${\displaystyle S}$ akan menghasilkan kombinasi linear dari ${\displaystyle S:}$$${\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n},}$$dengan semua ${\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}$, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari ${\displaystyle S}$ dengan sebarang skalar ${\displaystyle c\in K}$ akan menghasilkan kombinasi linear dari ${\displaystyle S:}$ $${\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.}$$Alhasil, ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ adalah subruang dari ${\displaystyle V.}$

Misalkan ${\displaystyle W}$ adalah subruang ${\displaystyle V}$ yang mengandung ${\displaystyle S.}$ Perhatikan bahwa ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S,}$ karena semua ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ merupakan kombinasi linear dari ${\displaystyle S}$ (secara langsung). Karena ${\displaystyle W}$ tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$ harus berada di ${\displaystyle W.}$ Akibatnya, ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ terkandung di semua subruang dari ${\displaystyle V}$ yang mengandung ${\displaystyle S.}$ Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari ${\displaystyle S.}$

Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

Sebarang himpunan ${\displaystyle S}$ yang merentang ruang vektor ${\displaystyle V}$ harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari ${\displaystyle V.}$

Bukti. Misalkan ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ adalah suatu himpunan merentang dan ${\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}$ adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di ${\displaystyle V.}$ Kita akan menunjukkan bahwa ${\displaystyle m\geq n.}$

Karena ${\displaystyle S}$ merentang ${\displaystyle V,}$ maka ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ juga harus merentang ${\displaystyle V,}$ dan ${\displaystyle \mathbf {w} _{1}}$ harus merupakan hasil kombinasi linear dari ${\displaystyle S.}$ Akibatnya ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari ${\displaystyle S}$ yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota ${\displaystyle S}$ lainnya. Vektor ini tidak mungkin ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ karena ${\displaystyle W}$ bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\},}$ yang merupakan himpunan merentang bagi ${\displaystyle V.}$ Kita ulangi proses ini sebanyak ${\displaystyle n}$ kali, yang tahap ke-${\displaystyle p}$-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}$ dan ${\displaystyle m-p}$ vektor dari ${\displaystyle S.}$

Dapat dipastikan sampai tahap ke-${\displaystyle n}$ akan selalu ada suatu ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ untuk dibuang dari ${\displaystyle S}$, akibatnya ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ setidaknya sama banyaknya dengan ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$; dengan kata lain, ${\displaystyle m\geq n.}$ Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap ${\displaystyle m<n.}$ Saat tahap ke-${\displaystyle m}$, kita memiliki himpunan ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ dan kita dapat menambahkan vektor baru ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}.}$ Tapi karena ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ adalah himpunan merentang dari ${\displaystyle V,}$ vektor ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ adalah kombinasi linear dari ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$. Ini adalah kontradiksi, karena ${\displaystyle W}$ bersifat bebas linear.

Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

Misalkan ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang ${\displaystyle V}$ dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi ${\displaystyle V,}$ dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus ${\displaystyle V}$ berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika ${\displaystyle V}$ berdimensi hingga.

Buku

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (Edisi 3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (Edisi 4th). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (Edisi 3rd). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (Edisi 2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

Situs web

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Diakses tanggal 27 September 2011.
• Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Diakses tanggal 16 Feb 2021.
• "Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Diakses tanggal 16 Feb 2021.