Ruang Vektor Euclidean

Himpunan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ adalah ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Vektor ${\displaystyle (2,7)}$ merupakan kombinasi linear dari ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0)}$ dan ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1)}$, sebab terdapat skalar ${\displaystyle 2,7\in \mathbb {R} }$ sehingga

${\displaystyle (2,7)=2(1,0)+7(0,1)=2{\vec {e}}_{1}+7{\vec {e}}_{2}}$

Lebih lanjut, setiap vektor dalam ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari ${\displaystyle e_{1}}$ dan ${\displaystyle e_{2}}$. Ini terjadi karena sebarang vektor ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ dapat ditulis sebagai

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&=(x,0)+(0,y)\\&=x(1,0)+y(0,1)\\&=x{\vec {e}}_{1}+y{\vec {e}}_{2}\end{aligned}}}$

Polinomial

Himpunan ${\displaystyle P_{2}}$ merupakan ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Misalkan ${\displaystyle p_{1}=1+x^{2}}$ dan ${\displaystyle p_{2}=2x^{2}}$. Apakah polinomial ${\displaystyle 1+x}$ merupakan kombinasi linear dari ${\displaystyle p_{1}}$ dan ${\displaystyle p_{2}}$? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} }$ yang memenuhi persamaan

${\displaystyle 1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})}$

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

${\displaystyle 1+1x+0x^{2}=k_{1}+0x+(k_{1}+2k_{2})x^{2}}$

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat ${\displaystyle x}$ pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} }$ yang memenuhi persamaan

${\displaystyle 1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})}$

Dengan demikian, ${\displaystyle 1+x}$ bukan kombinasi linear dari ${\displaystyle p_{1}}$ dan ${\displaystyle p_{2}}$.