Medium isotropis

Untuk tujuan penjelasan ini, sebuah medium padat dapat dikatakan isotropis jika regangan (deformasi) medium dalam merespons tegangan sama di segala arah. Misal ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ adalah vektor perpindahan suatu partikel dalam suatu medium dari posisi "istirahat" ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ akibat getaran elastis, yang dipahami sebagai fungsi dari posisi istirahat ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ dan waktu ${\displaystyle t}$. Deformasi medium pada titik tersebut dapat dijabarkan oleh tensor regangan ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$, matriks 3×3 yang elemennya merupakan $${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

dengan ${\displaystyle \partial _{i}}$ adalah turunan parsial terhadap koordinat posisi ${\displaystyle x_{i}}$. Tensor regangan berhubungan dengan tensor tegangan 3×3 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ melalui persamaan $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

Di sini ${\displaystyle \delta _{ij}}$ adalah fungsi delta Kronecker (1 jika ${\displaystyle i=j}$, 0 untuk kondisi lainnya) serta ${\displaystyle \lambda }$ dan ${\displaystyle \mu }$ adalah parameter Lamé (${\displaystyle \mu }$ menjadi modulus geser material). Sehingga persamaan tersebut menjadi $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

Dari Hukum inersia Newton, juga didapat satu persamaan $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$ dengan ${\displaystyle \rho }$ adalah massa jenis (massa per satuan volume) medium pada titik tersebut, dan ${\displaystyle \partial _{t}}$ adalah turunan parsial terhadap waktu. Menggabungkan dua persamaan terakhir, diperoleh persamaan gelombang seismik pada media homogen $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

Menggunakan notasi operator nabla pada kalkulus vektor, ${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$, dengan berbagai aproksimasi, persamaan ini dapat ditulis sebagai $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Menggunakan operator rotasi pada persamaan ini dan menerapkan vektor identitas, diperoleh persamaan $${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Persamaan ini merupakan persamaan gelombang yang berlaku pada besaran vektor ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$, yang merupakan regangan geser material. Solusi persamaan ini, gelombang-S, merupakan kombinasi linear dari gelombang bidang sinusoidal dengan berbagai panjang gelombang dan arah rambat, tetapi semua gelombang memiliki kecepatan sama sebesar ${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$

Menggunakan operator divergensi terhadap persamaan gelombang seismik pada media homogen, alih-alih operator rotasi, menghasilkan persamaan gelombang yang menjabarkan perambatan besaran ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}}$, yang merupakan regangan tekan material. Solusi persamaan ini, gelombang-P, merambat pada kecepatan sebesar ${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$, lebih dari dua kali lipat kecepatan ${\displaystyle \beta }$ pada gelombang-S.

Gelombang SH keadaan tunak dijabarkan oleh persamaan Helmholtz^[8] $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$ dengan k adalah bilangan gelombang.