Definisi aljabar Lie

Aljabar Lie adalah ruang vektor ${\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}$ di beberapa bidang F dengan operasi biner ${\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ disebut braket Lie memenuhi aksioma berikut:^[b]

• Bilinearitas,

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}$

${\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

untuk skalar a, b dalam F dan elemen x, y, z dalam ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

• Alternatif,

${\displaystyle [x,x]=0\ }$

untuk x dalam ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

• Identitas Jacobi,

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\ }$

untuk x, y, z dalam ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Menggunakan bilinearitas untuk memperluas kurung Lie ${\displaystyle [x+y,x+y]}$ dan menggunakan alternativitas menunjukkan ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0\ }$ untuk elemen x, y dalam ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ yang menunjukkan bilinearitas dan alternativitas sebagai

• Antikomutatif,

${\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }$

untuk semua elemen x, y dalam ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Jika karakteristik bidang bukan 2 maka antikomutatifitas sebagai alternatif.^[3]

Untuk menunjukkan aljabar Lie dengan huruf fraktur huruf kecil seperti ${\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}$. Jika aljabar Lie dikaitkan dengan grup Lie, maka aljabar tersebut dilambangkan dengan versi fraktur grup: misalnya aljabar Lie SU(n) adalah ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$.

Generator dan dimensi

Elemen aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dikatakan generator jika subaljabar terkecil yang menggunakan elemen ini adalah ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Dimensi dari aljabar Lie adalah dimensinya sebagai ruang vektor di atas F. Kardinalitas himpunan pembangkit minimal dari aljabar Lie tetap kurang dari atau sama dengan dimensinya.

Lihat klasifikasi aljabar Lie berdimensi rendah untuk contoh kecil lainnya.

Subaljabar, ideal dan homomorfisme

Braket Lie tidak harus menggunakan asosiatif, artinya ${\displaystyle [[x,y],z]}$ tidak harus menggunakan ${\displaystyle [x,[y,z]]}$. Namun, aljabar fleksibel. Meskipun demikian, istilah gelanggang asosiatif dan aljabar biasanya diterapkan pada aljabar Lie. Subaljabar Lie adalah subruang ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ sebagai penutupan di bawah braket Lie. Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ adalah subaljabar yang menggunakan kondisi yang lebih sederhana:^[4]

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

Aljabar Lie homomorfisme adalah peta linear kompatibel dengan tanda kurung Lie:

${\displaystyle \phi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}

Gelanggang asosiatif sebagai ideal adalah kernel homomorfisme; menggunakan aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dan ideal ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ untuk menghasilkan aljabar fungtor atau aljabar hasil bagi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$, dan teorema isomorfisme pertama berlaku untuk Lie aljabar.

Karena barket Lie adalah sejenis komutator lebih kecil kecil dari grup Lie, maka dua elemen ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ diubah jika braket: ${\displaystyle [x,y]=0}$.

Subaljabar pemusat dari himpunan bagian ${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$ adalah himpunan elemen dengan S: yaitu, ${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ untuk }}s\in S\}}$. Pemusat dari ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ adalah pusat ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$. Demikian pula, untuk subruang S, subaljabar penormal dari S adalah ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ untuk}}\ s\in S\}}$.^[5] Dengan halnya, jika S adalah subaljabar Lie, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$ adalah subaljabar terbesar sehingga ${\displaystyle S}$ adalah ideal dari ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$.

Jumlah langsung dan produk setengah langsung

Untuk dua Aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g^{}}}}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$, jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}}$terdiri dari ${\displaystyle {\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$, dengan operasi tersebut

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),}$

sehingga salinan ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'}$: ${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$ Maka ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ menjadi aljabar Lie dan ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ideal dari ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Jika peta kanonik ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ (yaitu, menerima bagian), maka ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dikatakan sebagai produk setengah langsung dari ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$. Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.

Teorema Levi mengatakan bahwa aljabar Lie berdimensi-hingga adalah perkalian setengah langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (Levi subaljabar).

Turunan

Turunan pada aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (atau pada aljabar non-asosiatif) adalah peta linear ${\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ yang mematuhi hukum Leibniz, yaitu,

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

untuk ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$. Turunan batin yang terkait dengan ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ adalah pemetaan adjoin ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ didefinisikan oleh ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$. (Ini adalah derivasi sebagai konsekuensi dari identitas Jacobi.) Turunan luar adalah derivasi yang tidak berasal dari representasi adjoin aljabar Lie. Jika ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ adalah setengah sederhana, setiap turunan adalah dalam.

Turunan membentuk ruang vektor ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}$, yang merupakan subaljabar Lie dari ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$; braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}$.

Jumlah langsung dan produk setengah langsung

Untuk dua aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g^{}}}}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$, jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}}$terdiri dari semua ${\displaystyle {\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$, dengan operasi tersebut

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),}$

maka salinan ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'}$ komutatif satu sama lain: ${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$ Maka ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sebagai aljabar Lie dan ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ideal ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Jika peta kanonik ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ membagi (yaitu, menerima bagian), lalu ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dikatakan sebagai produk setengah langsung dari ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$. Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.

Teorema Levi digunakan aljabar Lie berdimensi-hingga adalah hasil kali setengah-langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (subaljabar Levi).

Turunan

Turunan pada aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (atau pada aljabar non-asosiatif) adalah peta linear ${\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ yang mematuhi hukum Leibniz, yaitu,

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

untuk semua ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$. Turunan batin yang terkait dengan ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ adalah pemetaan adjoin ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ didefinisikan oleh ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$. Jika ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ adalah setengah sederhana, setiap turunan adalah dalam.

Turunan membentuk ruang vektor ${\displaystyle \mathrm {Tur} ({\mathfrak {g}})}$ yang merupakan subaljabar Lie dari ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$; braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari ${\displaystyle \mathrm {Tur} ({\mathfrak {g}})}$.

Membagi aljabar Lie

Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang F, ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ aljabar Lie transformasi linear dan ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)}$ sebuah subaljabar Lie. Maka ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sebagai membagi jika akar dari polinomial karakteristik dari semua transformasi linear dalam ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ berada di bidang dasar F.^[6] Lebih umum, aljabar Lie berdimensi-hingga ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dikatakan terpecah jika memiliki subaljabar Cartan yang gambarnya di bawah representasi adjoin ${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} adalah aljabar Lie terpisah. Bentuk riil terpisah dari aljabar Lie setengah sederhana kompleks (lihat #Bentuk riil dan pengkompleksan) adalah contoh membagi aljabar Lie riil. Lihat pula membagi aljabar Lie untuk informasi lebih lanjut.

Basis ruang vektor

Untuk kalkulasi praktis, sering kali lebih mudah untuk memilih basis ruang vektor eksplisit untuk aljabar. Konstruksi umum untuk basis ini digambarkan dalam artikel konstanta struktur.

Definisi menggunakan notasi teori-kategori

Meskipun definisi di atas cukup untuk pemahaman konvensional tentang Lie aljabar, setelah dipahami, wawasan tambahan dapat diperoleh dengan menggunakan notasi umum untuk teori kategori, yaitu dengan mendefinisikan aljabar Lie dalam istilah peta linear—yaitu, morfisme dari kategori ruang vektor tanpa mempertimbangkan elemen individu. Dalam bagian ini, bidang dimana aljabar didefinisikan karakteristik berbeda dari dua.)

Untuk definisi kategori-teoretis dari aljabar Lie, diperlukan dua kepangan isomorfisme. Jika A adalah ruang vektor, pertukaran isomorfisme ${\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}$ didefinisikan oleh

${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.}$

Kepangan siklik-permutasi ${\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$ didefinisikan sebagai

${\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),}$

dimana ${\displaystyle \mathrm {id} }$ adalah morfisme identitas. Sama halnya, ${\displaystyle \sigma }$ didefinisikan oleh

${\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.}$

Dengan notasi ini, aljabar Lie dapat didefinisikan sebagai objek ${\displaystyle A}$ dalam kategori ruang vektor dengan morfisme

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\rightarrow A}$

yang memenuhi dua persamaan morfisme

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}$

dan

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}$

Ruang vektor

Setiap ruang vektor ${\displaystyle V}$ sebagai tanda kurung siku nol yang identik menjadi aljabar Lie. Aljabar Lie satu dimensi di atas bidang adalah abelian, dengan sifat dari kurung Lie.

Aljabar asosiatif dengan tanda kurung komutator

• Pada aljabar asosiatif ${\displaystyle A}$ di atas bidang ${\displaystyle F}$ dengan perkalian ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$, braket Lie dapat ditentukan dengan komutator ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$. Dengan tanda kurung ini, ${\displaystyle A}$ adalah aljabar Lie.^[7] Aljabar asosiatif A disebut aljabar pembungkus dari aljabar Lie ${\displaystyle (A,[\,\cdot \,,\cdot \,])}$. Setiap aljabar Lie dapat digabungkan ke aljabar yang muncul dari aljabar asosiatif dengan aljabar pembungkus universal.
• Aljabar asosiatif endomorfisma dari ruang-F vektor ${\displaystyle V}$ dengan braket Lie di atas dilambangkan ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.
• Untuk ruang vektor berdimensi hingga ${\displaystyle V=F^{n}}$, contoh sebelumnya, aljabar Lie dari matriks n×n, dinotasikan ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ atau ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$,^[8] dengan braket ${\displaystyle [X,Y]=X\cdot Y-Y\cdot X}$, dimana ${\displaystyle \cdot }$ menunjukkan perkalian matriks. Aljabar Lie dari grup linear umum yang terdiri dari matriks invers.

Matriks khusus

Dua subaljabar dari ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ adalah:

• Matriks jejak nol membentuk aljabar Lie linear khusus ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(F)}$, aljabar Lie dari grup linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(F)}$.^[9]
• Matriks condong-Hermitian membentuk aljabar Lie kesatuan ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$, aljabar Lie dari satuan grup U(n).

Aljabar matriks Lie

Kompleks grup matriks adalah grup Lie yang terdiri dari matriks ${\displaystyle G\subset M_{n}(\mathbb {C} )}$ dimana perkalian G adalah perkalian matriks. Aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ruang matriks merupakan vektor bersinggungan dengan G dalam ruang linear ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$: terdiri dari turunan kurva halus dalam G dengan identitas:

Braket Lie dari ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ adalah komutator matriks, ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$. Dengan aljabar Lie, kita dapat memulihkan grup Lie sebagai citra pemetaan matriks eksponensial ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$ didefinisikan oleh ${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots }$, yang menyatu untuk setiap matriks ${\displaystyle X}$: yaitu, ${\displaystyle G=\exp({\mathfrak {g}})}$.^[10]

Berikut ini adalah contoh aljabar Lie dari grup matriks Lie:^[10]

• Grup linear khusus ${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )}$ terdiri dari n × n matriks dengan determinan 1. Aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$terdiri dari n × n matriks dengan entri kompleks dan jejak 0. Demikian pula, mendefinisikan grup Lie riil ${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ dan aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$.
• Grup uniter ${\displaystyle U(n)}$ terdiri dari n × n matriks uniter (sebagai ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$). Aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ terdiri dari matriks adjoin (${\displaystyle X^{*}=-X}$).
• Grup ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, terdiri dari matriks ortogonal determinan-satu riil (${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$). Aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ terdiri dari matriks simetris-miring riil (${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$). Grup ortogonal penuh ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$, tanpa determinan-satu kondisi, terdiri dari ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ dan komponen terhubung yang terpisah, maka memiliki aljabar Lie sama dengan ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$. Demikian pula, mendefinisikan versi kompleks dari grup dan aljabar ini, hanya dengan entri matriks kompleks.

Dua dimensi

• Pada setiap bidang ${\displaystyle F}$ hingga isomorfisme, satu aljabar Lie nonabelian dua dimensi. Dengan generator x, y, braketnya didefinisikan sebagai ${\displaystyle \left[x,y\right]=y}$. Ini sebagai grup affine dalam satu dimensi.

Ini diwujudkan dengan matriks:

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

Maka

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)^{n+1}=\left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)}$

untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle c}$ melihat bahwa elemen grup Lie yang dihasilkan adalah matriks segitiga atas 2 × 2 dengan satuan diagonal lebih rendah:

${\displaystyle \exp(a\cdot {}x+b\cdot {}y)=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)=1+{\tfrac {e^{a}-1}{a}}\left(a\cdot {}x+b\cdot {}y\right).}$

Tiga dimensi

• Aljabar Heisenberg ${\displaystyle {\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} )}$ is a aljabar Lie tiga dimensi yang dihasilkan elemen x, y, dan z dengan tanda kurung Lie

${\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0}$.

Ini diwujudkan sebagai ruang dari matriks segitiga 3 × 3, dengan tanda kurung komutator Lie:

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Setiap elemen dari grup Heisenberg dengan demikian dapat direpresentasikan sebagai produk dari generator grup, yaitu, matriks eksponensial dari generator aljabar Lie,

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)=e^{by}e^{cz}e^{ax}~.}$

• Aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ dari grup SO(3) direntang oleh tiga matriks^[11]

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Relasi pergantian di antara generator adalah

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

Tiga dimensi ruang Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dengan kurung Lie diberikan oleh perkalian silang dari vektor sebagai relasi pergantian yang sama seperti di atas: dengan demikian, isomorfik untuk ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$. Aljabar Lie keekuivalen secara unitar dengan operasi komponen momentum sudut spin biasa untuk partikel spin-1 dalam mekanika kuantum.

Dimensi tak hingga

• Kelas penting aljabar Lie berdimensi tak hingga muncul di topologi diferensial. Ruang halus bidang vektor pada lipatan diferensial M membentuk aljabar Lie, dimana kurung Lie didefinisikan sebagai komutator bidang vektor. Salah satu cara untuk mengekspresikan tanda kurung Lie adalah melalui formalisme turunan Lie, yang mengidentifikasi bidang vektor X dengan operasi diferensial parsial urutan pertama L_X sebagai fungsi halus dengan membiarkan L_X(f) menjadi turunan arah dari fungsi f ke X. Braket Lie [X,Y] dari dua bidang vektor adalah bidang vektor yang ditentukan melalui fungsi dengan rumus:

${\displaystyle L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,}$

• Aljabar Kac–Moody adalah kelas besar aljabar Lie berdimensi tak hingga yang strukturnya sangat mirip dengan kasus berdimensi hingga di atas.
• Aljabar Moyal adalah aljabar Lie berdimensi tak hingga yang berisi semua aljabar Lie klasik sebagai subaljabar.
• Aljabar Virasoro adalah yang terpenting dalam teori pita.

Definisi

Diberikan ruang vektor V, misal ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ menunjukkan aljabar Lie yang terdiri dari semua endomorfisma linear dari V, dengan tanda kurung yang diberikan oleh ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$. Sebuah wakilan dari aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dengan V adalah homomorfisme aljabar Lie

${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}

Wakilan sebagai setia jika kernelnya nol. Teorema Ado^[12] untuk setiap aljabar Lie berdimensi-hingga memiliki wakilan setia dengan ruang vektor berdimensi-hingga.

Wakilan adjoin

Untuk aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, maka didefinisikan wakilan ${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ given by ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$ adalah wakilan pada ruang vektor ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ yang merupakan wakilan adjoin.

Tujuan teori wakilan

Salah satu aspek penting dari studi Lie aljabar (terutama aljabar Lie semi-sederhana) adalah studi tentang wakilan. Memang, sebagian besar buku yang tercantum di bagian referensi mencurahkan sebagian besar halaman untuk teori wakilan. Meskipun teorema Ado adalah hasil yang penting, tujuan utama dari teori wakilan bukanlah untuk menemukan wakilan yang tepat dari aljabar Lie yang diberikan ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Dalam kasus semi-sederhana untuk wakilan adjoin adalah setia. Sebaliknya, tujuannya adalah untuk memahami semua kemungkinan wakilan ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, hingga gagasan alami tentang kesetaraan. Dalam kasus semi sederhana di atas bidang karakteristik nol, teorema Weyl^[13] untuk setiap wakilan berdimensi-hingga adalah jumlah langsung dari wakilan yang tidak dapat direduksi (tidak memiliki subruang invarian nontrivial). Wakilan yang tidak dapat direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan dengan teorema dengan bobot tertinggi.

Teori wakilan dalam Fisika

Teori wakilan aljabar Lie memegang peranan penting dalam berbagai bagian teori fisika. Operasi di ruang negara bagian yang memenuhi relasi pergantian alami tertentu. Relasi pergantian ini biasanya berasal dari kesimetrian masalah—khususnya, mereka adalah relasi aljabar Lie dari grup kesimetrian yang relevan. Contohnya adalah operasi momentum sudut dimana relasi pergantinya adalah aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ dari grup rotasi SO(3). Biasanya, ruang satuan sangat jauh dari tidak dapat direduksi di bawah operasi terkait, tetapi seseorang dapat mencoba untuk menguraikannya menjadi bagian-bagian yang tidak dapat direduksi. Dalam melakukannya, untuk mengetahui wakilan tak tersederhanakan dari aljabar Lie yang diberikan. Dalam studi tentang kuantum atom hidrogen, misalnya, buku teks mekanika kuantum memberikan (tanpa menyebutnya demikian) klasifikasi wakilan tak tersederhanakan dari aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$.