Templat:Ring theory sidebar

Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang hasil bagi, juga dikenal sebagai gelanggang faktor, gelanggang perbedaan^[1] atau gelanggang kelas residu, adalah konstruksi yang sangat mirip dengan kelompok hasil bagi dari teori kelompok dan ruang hasil bagi dari aljabar linear.^[2][3] Ini adalah contoh spesifik dari hasil bagi, dilihat dari pengaturan umum aljabar universal. Yang pertama dimulai dengan cincin R dan ideal dua sisi I di R , dan membuat gelanggang baru, gelanggang hasil bagi R / I, yang elemennya adalah kohimpunan dari I pada R yang tunduk pada operasi + dan ⋅ khusus.

Gelanggang hasil bagi berbeda dari yang disebut 'bidang hasil bagi', atau bidang pecahan, dari domain integral serta dari 'gelanggang quotients' yang lebih umum diperoleh dengan lokalisasi.

Konstruksi cincin hasil bagi formal

Diberikan sebuah cincin ${\displaystyle R}$ dan ideal dua sisi ${\displaystyle I}$ di ${\displaystyle R}$, kita dapat mendefinisikan sebuah relasi ekivalen ${\displaystyle \sim }$ di ${\displaystyle R}$ sebagai berikut:

${\displaystyle a\sim b}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle a-b}$ ada di ${\displaystyle I}$.

Menggunakan properti yang ideal, tidak sulit untuk memeriksanya ${\displaystyle \sim }$ adalah hubungan kesesuaian. Dalam hal ${\displaystyle a\sim b}$, kami mengatakan bahwa ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah kongruen modulo ${\displaystyle I}$. Kelas ekivalen dari elemen ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle R}$ diberikan oleh

${\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}}$.

Kelas kesetaraan ini terkadang juga ditulis sebagai ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$ dan disebut "kelas residu dari ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle I}$".

Himpunan dari semua kelas ekivalen dilambangkan dengan ${\displaystyle R/I}$; maka akan menjadi sebuah gelanggang, gelanggang faktor atau gelanggang hasil bagi dari ${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$, jika didefinisikan

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.

(Di sini kita harus memeriksa bahwa definisi ini adalah terdefinisi dengan baik. Bandingkan koset dan kelompok hasil bagi.) Elemen nol dari ${\displaystyle R/I}$ adalah ${\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}$, dan identitas multiplikatifnya ${\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}$.

Peta ${\displaystyle p}$ dari ${\displaystyle R}$ ke ${\displaystyle R/I}$ didefinisikan oleh ${\displaystyle p(a)=a+I}$ adalah surjektif gelanggang homomorfisme, kadang-kadang disebut peta kecerdasan alami atau homomorfisme kanonik.

Definisi

Jika ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ sebuah gelanggang dan ${\displaystyle I}$ a (dua sisi) ideal dari ${\displaystyle R}$, kemudian membentuk himpunan ${\displaystyle R/I=\left\{a+I\mid a\in R\right\}}$ dari kelas ekivalen pada modulo ${\displaystyle I}$ sebuah gelanggang dengan tautan berikut:

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}$
• ${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I,}$

di mana ${\displaystyle (a+I)}$ didefinisikan sebagai ${\displaystyle \{a+r\,|\,r\in I\}}$.

Cincin ini disebut ring faktor ${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$ atau ring kelas sisa atau ring hasil bagi. (Namun, ini tidak ada hubungannya dengan istilah bidang hasil bagi atau gelanggang hasil bagi; ini adalah pelokalan.)

Teori ideal

Misalkan ${\displaystyle R}$ menjadi cincin komutatif dengan satu elemen dan ${\displaystyle I\subseteq R}$ sebuah cita-cita. Dari pada

• ideal cincin ${\displaystyle R/I}$ persis seperti ideal ${\displaystyle J}$ dari ${\displaystyle R}$, yang berisi ${\displaystyle I}$ (also ${\displaystyle I\subseteq J}$ )
• bagian utama cincin ${\displaystyle R/I}$ persis seperti cita-cita utama ${\displaystyle R}$ yang berisi ${\displaystyle I}$
• ideal maksimal ring ${\displaystyle R/I}$ persis dengan ideal maksimal dari ${\displaystyle R}$ yang berisi ${\displaystyle I}$

Lihat pula

• Cincin bertingkat terkait
• Bidang residu
• Teorema Goldie
• Modul hasil bagi

Catatan

Referensi lebih lanjut

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
• Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
• Joseph Rotman (1998). Galois Theory (2nd edition). Springer. hlm. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
• B.L. van der Waerden (1970) Algebra, translated by Fred Blum and John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. See Chapter 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pages 47 to 51.

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Quotient ring", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Ideals and factor rings Diarsipkan 2020-06-30 di Wayback Machine. from John Beachy's Abstract Algebra Online
• Quotient ring, PlanetMath.org.