dapat ditelusuri karena solusinya dapat dinyatakan sebagai ekspresi bentuk tertutup, yaitu dalam istilah fungsi dasar:
Demikian pula solusi persamaan kubik dan kuartik (derajat ketiga dan keempat) dapat diekspresikan menggunakan aritmetika, akar kuadrat, dan akar kubik, atau sebagai alternatif menggunakan fu aritmetika dan trigonometri. Namun, ada persamaan kuintik tanpa solusi bentuk tertutup yang menggunakan fungsi elementer, seperti x5−x+1=0.
Suatu bidang studi dalam matematika yang disebut secara luas sebagai teori Galois melibatkan pembuktian bahwa tidak ada ekspresi bentuk tertutup dalam konteks tertentu, berdasarkan contoh pusat solusi bentuk tertutup untuk polinomial.
Berurusan dengan ekspresi non-bentuk tertutup
Transformasi ke dalam ekspresi bentuk tertutup
Ekspresi:
tidak dalam bentuk tertutup karena penjumlahan memerlukan jumlah operasi dasar yang tak terbatas. Namun, dengan menjumlahkan deret geometris, ekspresi ini dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup:[1]
Integral dari ekspresi bentuk tertutup mungkin atau tidak dengan sendirinya dapat diekspresikan sebagai ekspresi bentuk tertutup. Kajian ini disebut sebagai teori Galois diferensial, dengan analogi dengan aljabar Galois.
Teorema dasar teori diferensial Galois adalah karena Joseph Liouville pada tahun 1830-an dan 1840-an dan karenanya disebut sebagai Teorema Liouville.
Contoh standar fungsi dasar yang antiturunannya tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup adalah:
Persamaan atau sistem yang terlalu kompleks untuk solusi bentuk tertutup atau analitik sering kali dapat dianalisis dengan model matematika ling dan simulasi komputer.
Tiga subbidang dari bilangan kompleks C telah disarankan sebagai pengkodean gagasan tentang "bilangan bentuk tertutup"; dalam meningkatkan ketertiban umum, ini adalah bilangan Liouville (jangan disamakan dengan bilangan Liouville dalam pengertian pendekatan rasional), bilangan EL dan nomor dasar. Bilangan Liouville, dilambangkan L, membentuk subbidang aljabar tertutup terkecil dari C closed di bawah eksponensiasi dan logaritma (secara formal, perpotongan dari semua subkolom semacam itu) —yaitu, angka yang melibatkan eksponen dan logaritma eksplisit , tetapi memungkinkan polinom eksplisit dan implisit (akar dari polinomial); ini didefinisikan dalam (Ritt 1948, p. 60). L pada awalnya disebut sebagai bilangan elementer, tetapi istilah ini sekarang digunakan secara lebih luas untuk merujuk pada bilangan yang didefinisikan secara eksplisit atau implisit dalam istilah operasi aljabar, eksponensial, dan logaritma. Definisi yang lebih sempit diusulkan dalam (Chow 1999, pp. 441–442).
Numerikal numerik
Untuk keperluan komputasi numerik, bentuk tertutup umumnya tidak diperlukan, karena banyak batasan dan integral dapat dihitung secara efisien.
