Klaim 1

Akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$. Dengan menggunakan asumsi bahwa ${\displaystyle e={\tfrac {a}{b}}}$, maka didapatkan $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b!\left(e-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)\\&=b!\left({\dfrac {a}{b}}-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)\\&=a(b-1)!-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {b!}{n!}}\end{aligned}}}$$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b-1}$ merupakan bilangan asli, sehingga ${\displaystyle a(b-1)!}$ merupakan bilangan bulat. Lebih lanjut, setiap pecahan di dalam notasi Sigmanya juga merupakan bilangan bulat, sebab nilai ${\displaystyle n\leq b}$ pada setiap sukunya. Akibatnya, dengan asumsi bahwa ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan rasional, maka ${\displaystyle x}$ merupakan bilangan bulat.

Klaim 2

Akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle 0<x<1}$. Pertama, akan ditunjukkan bahwa ${\displaystyle x>0}$ dengan menggunakan definisi dari ${\displaystyle x}$ beserta representasi deret dari ${\displaystyle e}$. Perhatikan bahwa $${\displaystyle x=b!\left(\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=\sum _{n\,=\,b+1}^{\infty }{\dfrac {b!}{n!}}>0}$$ sebab setiap suku pada jumlahan di atas bernilai positif.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle x<1}$. Perhatikan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sum _{n\,=\,b+1}^{\infty }{\dfrac {b!}{n!}}\\&={\dfrac {b!}{(b+1)!}}+{\dfrac {b!}{(b+2)!}}+{\dfrac {b!}{(b+3)!}}+{\dfrac {b!}{(b+4)!}}+\,\ldots \\&={\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)}}+\,\ldots \\&<{\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+1)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+1)(b+1)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+1)(b+1)(b+1)}}+\,\ldots \\&={\dfrac {1}{b+1}}+\left({\dfrac {1}{b+1}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {1}{b+1}}\right)^{\!3}+\left({\dfrac {1}{b+1}}\right)^{\!4}+\,\ldots \\&={\dfrac {\tfrac {1}{b+1}}{1-{\tfrac {1}{b+1}}}}\\&={\dfrac {1}{b}}\leq 1\end{aligned}}}$$ Baris keenam diperoleh melalui rumus deret geometrik. Berdasarkan hasil di atas, maka terbukti bahwa ${\displaystyle x<1}$.

Berdasarkan kedua uraian sebelumnya, klaim 2 menimbulkan kontradiksi dengan klaim 1. Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan rasional) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan irasional. Q.E.D.