Representasi larik ortogonal

Persegi Latin dapat disajikan dalam bentuk himpunan, disebut dengan larik ortogonal, dengan membuat tripel ${\displaystyle (r,\,c,\,s)}$ untuk setiap elemen di persegi Latin. Pada tripel ini, ${\displaystyle r}$ menyatakan urutan baris, ${\displaystyle c}$ menyatakan urutan kolom, dan ${\displaystyle s}$ menyatakan simbol pada baris ke-${\displaystyle r}$ dan kolom ke-${\displaystyle c}$. Sebagai contoh, representasi larik ortogonal dari persegi Latin

adalah {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) }. Larik ortogonal umumnya ditulis dalam bentuk tabel, dengan setiap baris berisi nilai-nilai tripel, sebagai contoh:

Persegi Latin dapat didefinisikan dengan menggunakan larik ortogonal:

persegi Latin adalah himpunan dari ${\displaystyle n^{2}}$ tripel ${\displaystyle (r,\,c,\,s)}$, dengan ${\displaystyle 1\leq (r,\,c,\,s)\leq n}$, dan memenuhi: setiap pasangan berurut ${\displaystyle (r,c)}$ bernilai unik, setiap pasangan ${\displaystyle (r,\,s)}$ bernilai unik, dan setiap pasangan ${\displaystyle (c,\,s)}$ bernilai unik.

Banyak persegi Latin

Tidak ada rumus sederhana untuk menghitung nilai ${\displaystyle L_{n}}$, yakni banyaknya persegi Latin berukuran ${\displaystyle n\times n}$ berisi simbol-simbol ${\displaystyle 1,\,2,\,\dots ,\,n}$. Nilai batas atas dan batas bawah terbaik untuk ${\displaystyle L_{n}}$ memiliki jarak yang besar. Salah satu hasil^[5] menyatakan bahwa$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(k!\right)^{n/k}\geq L_{n}\geq {\frac {\left(n!\right)^{2n}}{n^{n^{2}}}}.}$$Sebuah rumus eksplisit dan sederhana untuk banyak persegi Latin diterbitkan pada tahun 1992, tetapi sulit untuk dihitung karena banyak suku yang bertambah secara eksponensial. Rumus ini menyatakan banyaknya persegi Latin berukuran n × n adalah$${\displaystyle L_{n}=n!\sum _{\mathbf {A} \in B_{n}}^{}(-1)^{\sigma _{0}(\mathbf {A} )}{\binom {\operatorname {per} \mathbf {A} }{n}},}$$dengan B_n menyatakan himpunan semua matriks binear berukuran n × n, ${\displaystyle \sigma _{0}(\mathbf {A} )}$ menyatakan banyak elemen nol di matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$, dan ${\displaystyle \operatorname {per} \mathbf {A} }$ adalah permanen dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$.^[6]