Notasi Kapital Sigma

Notasi matematis menggunakan simbol yang secara ringkas mewakili penjumlahan dari banyak istilah yang serupa: simbol penjumlahan, ${\displaystyle \sum }$, bentuk diperbesar dari huruf Yunani tegak huruf Yunani Sigma. Ini didefinisikan sebagai:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

Dimana ${\displaystyle i}$ adalah indeks penjumlahan; ${\displaystyle a_{i}}$ adalah variabel yang diindeks yang mewakili setiap istilah dari jumlah; ${\displaystyle m}$ adalah batas bawah penjumlahan, dan ${\displaystyle n}$ adalah batas atas penjumlahan. "${\displaystyle i=m}$" di bawah simbol penjumlahan berarti bahwa indeks saya mulai sama dengan ${\displaystyle m}$. Indeks, ${\displaystyle i}$, bertambah satu untuk setiap istilah berturut-turut, berhenti ketika ${\displaystyle i=n}$.

Ini dibaca "penjumlahan pada ${\displaystyle a_{i}}$ dari ${\displaystyle i=m}$ ke ${\displaystyle n}$".

Berikut adalah contoh yang menunjukkan penjumlahan kuadrat:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}$.

Penulisan informal terkadang menghilangkan definisi indeks dan batasan penjumlahan ketika ini jelas dari konteksnya, seperti pada:

${\displaystyle \sum a_{i}=\sum _{i=m}^{n}a_{i}}$

Kita sering melihat generalisasi dari notasi ini di mana suatu kondisi logis sebarang disediakan, dan jumlah tersebut dimaksudkan untuk diambil alih semua nilai yang memenuhi kondisi tersebut. Berikut ini beberapa contoh umum:

${\displaystyle \sum _{0<k\leq 100}f(k)}$

adalah jumlah pada ${\displaystyle f(k)}$ untuk seluruh bilangan bulat ${\displaystyle k}$ dalam rentang yang ditentukan,

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)}$

adalah jumlah pada ${\displaystyle f(x)}$, untuk seluruh anggota ${\displaystyle x}$ pada himpunan ${\displaystyle S}$.

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)}$

adalah jumlah pada ${\displaystyle \mu (d)}$, untuk seluruh bilangan bulat positif ${\displaystyle d}$ membagi ${\displaystyle n}$.

Ada juga cara untuk menggeneralisasi penggunaan banyak notasi Sigma. Sebagai contoh,

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

Ini sama saja dengan

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}}$.

Notasi yang sama diterapkan ketika datang untuk menunjukkan produk dari suatu urutan, yang mirip dengan notasi Sigma, tetapi yang menggunakan operasi perkalian alih-alih penambahan (dan memberikan 1 untuk urutan kosong, bukan 0). Struktur dasar yang sama digunakan, dengan ${\displaystyle \prod }$, adalah huruf kapital Pi Yunani, menggantikan ${\displaystyle \sum }$.

Kasus Spesial

Dimungkinkan untuk menjumlahkan kurang dari 2 angka:

• Jika penjumlahan memiliki satu penjumlahan ${\displaystyle x}$, maka jumlah yang dievaluasi adalah ${\displaystyle x}$.
• Jika penjumlahan tidak memiliki penjumlahan, maka jumlah yang dievaluasi adalah nol, karena nol adalah identitas tambahan. Ini dikenal sebagai jumlah kosong.

Identitas Umum

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$ , (distributif)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)\pm g(n)\right]\quad }$ , (asosiatif dan komutatif)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s\pm p}^{t\pm p}f(n\mp p)}$ , (pergeseran indeks)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))}$ , untuk bijeksi ${\displaystyle \sigma }$ dari himpunan terbatas ${\displaystyle A}$ ke himpunan ${\displaystyle B}$ (perubahan indeks); ini menggeneralisasi formula sebelumnya.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)}$ , (memecahkan jumlah, menggunakan sifat asosiatif).

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)}$ , (varian dari rumus sebelumnya).

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)}$ , (jumlah dari istilah pertama hingga yang terakhir sama dengan jumlah dari yang terakhir hingga yang pertama).

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)}$ , (kasus rumus tertentu di atas).

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}}$ , (asosiatif dan komutatif)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}}$ , (penerapan pada asosiatif dan komutatif)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)}$ , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks genap)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)}$ , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks ganjil)

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}}$ , (distributif)

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)}$ , (distributif yang memungkinkan faktorisasi)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)}$ , (logaritma suatu produk adalah jumlah dari faktor-faktor logaritma)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}}$ , (eksponensial dari jumlah adalah produk dari eksponensial pada penjumlahan)

Eksponen dan Logaritma pada Deret Aritmetika

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }}$, untuk setiap ${\displaystyle c}$ yang tidak bergantung pada ${\displaystyle i}$.

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }}$ , (jumlah dari perkembangan aritmetika yang paling sederhana, terdiri dari ${\displaystyle n}$ bilangan asli pertama)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[2i-1]=n^{2}}$ , (jumlah bilangan asli ganjil pertama).

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}[2i]=n(n+1)}$ , (jumlah bilangan asli genap pertama).

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!}$ , (jumlah dari logaritma adalah logaritma produk)

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }}$ , (jumlah kuadrat pertama, lihat bilangan piramidal persegi)

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }}$ , (Teorema Nicomachus)

Lebih umum, terdapat rumus Faulhaber,

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1}}}$

Dimana ${\displaystyle B_{k}}$ melambangkan bilangan Bernoulli, dan ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$ adalah koefisien binomial.

Indeks Penjumlahan dalam Eksponen

Dalam penjumlahan berikut, ${\displaystyle a}$ diasumsikan berbeda dari ${\displaystyle 1}$.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$ , (jumlah pada sebuah deret geometri)

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}}$ , (kasus spesial untuk ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$)

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}}$ , (${\displaystyle a}$ dikali turunan terhadap ${\displaystyle a}$ pada deret geometri)

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}}$ , (jumlah pada sebuah deret aritmetika-geometri)

Koefisien Binomial dan Faktorial

Artikel Utama: Koefisien Binomial dan Jumlah pada Koefisien Binomial

Ada sangat banyak penjumlahan identitas yang melibatkan koefisien binomial (seluruh bab Concrete Mathematics dikhususkan hanya untuk teknik dasar). Beberapa yang paling mendasar adalah sebagai berikut.

Bilangan Harmonik

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}}$ , (itu adalah bilangan harmonik ${\displaystyle n}$)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}}$ , (itu adalah bilangan harmonik umum ${\displaystyle n}$)