Dalam matematika, kategori Ab memiliki grup abelian sebagai objek dan homomorfisme grup sebagai morfisme. Ini adalah prototipe dari kategori abelian:^[1] memang, setiap kecil pada kategori abelian dapat disematkan Ab.^[2]

Sifat

Objek nol dari Ab adalah grup trivial {0} yang hanya terdiri dari elemen netral.

Monomorfisme pada Ab adalah homomorfisme grup injektif, epimorfisme adalah homomorfisme grup konjektur, dan isomorfisme adalah homomorfisme kelompok bijektif.

Ab adalah subkategori lengkap dari Grp, kategori semua grup. Perbedaan utama antara Ab dan Grp adalah bahwa jumlah dari dua homomorfisme f dan g antara grup abelian sekali lagi merupakan homomorfisme kelompok:

(f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y)

Persamaan ketiga mensyaratkan kelompok menjadi abelian. Penambahan morfisme ini mengubah Ab menjadi kategori preadditif, dan karena jumlah langsung dari banyak grup abelian tak terhingga menghasilkan produk ganda, kami memang memiliki kategori aditif.

Dalam Ab, pengertian kernel dalam pengertian teori kategori bertepatan dengan kernel dalam pengertian aljabar, yaitu kernel kategorikal dari morfisme f : A → B adalah subgrup K dari A yang didefinisikan oleh K = {x ∈ A : f(x) = 0}, bersama dengan homomorfisme inklusi i : K → A . Hal yang sama juga berlaku untuk cokernel; cokernel dari f adalah grup hasil bagi C = B / f(A) bersama dengan proyeksi alam p : B → C. (Perhatikan perbedaan penting lainnya antara Ab dan Grp: pada Grp it dapat terjadi bahwa f ( A ) bukan subgrup normal dari B , dan oleh karena itu grup hasil bagi B / f(A) tidak dapat dibentuk.) Dengan deskripsi konkret tentang kernel dan cokernels ini, cukup mudah untuk memeriksa bahwa Ab memang sebuah kategori abelian.

Lihat pula

• Kategori modul
• Penggunaan Abelian - banyak fakta tentang kategori kelompok abelian terus dipegang untuk kategori berkas berkas grup abelian.

Referensi

• Templat:Lang Algebra
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (Edisi 2nd). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ed. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.