Satu variabel

Integral Berezin melebihi variabel tunggal Grassmann ${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$ didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear

${\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }$

...di mana kita mendefinisikan...

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}$

sehinggaː

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle f(\theta )=a\theta +b}$ merupakan fungsi yang paling umum dari ${\displaystyle \theta }$ karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi ${\displaystyle f(\theta )}$ tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.

Beberapa variabel

Integral Berezin dari ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ didefinisikan sebagai fungsi linear unik ${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\mathrm {d} \theta }$ dengan sifat-sifat berikut.

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}$

untuk setiap ${\displaystyle f\in \Lambda ^{n}}$, di mana ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta _{i}}}}$ berarti turunan parsial kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya^[1]

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta$ :=1.}

Rumus

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}$

mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial ${\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}}$ diatur menjadi ${\displaystyle g(\theta ')}$, di mana ${\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)}$, integral dari ${\displaystyle f=g(\theta ')}$ menghilang. Integral dengan terhadap ${\displaystyle \theta _{2}}$ dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.

Perubahan dari variael Grassmann

Misalkan ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n}$, adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$. Matriks Jacobian bisa ditulis

di mana ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \xi _{j}}}}$ merujuk turunan sebelah kanan (${\displaystyle {\frac {\partial (\theta _{1}\theta _{2})}{\partial \theta _{2}}}=\theta _{1},\;{\frac {\partial (\theta _{1}\theta _{2})}{\partial \theta _{1}}}=-\theta _{2}}$). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

${\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .}$

Definisi

Sekarang pertimbangkan aljabar ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ dari fungsi dari variabel komutatif real ${\displaystyle x=x_{1},\dots ,x_{m}}$ dan variabel antikomutatif ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$ (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi ${\displaystyle (m|n)}$). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ adalah sebuah fungsi dari variabel ${\displaystyle m}$ genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel ${\displaystyle n}$ ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ adalah sebuah fungsi dari argumen ${\displaystyle x}$ yang bervariasi di himpunan terbuka ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}$ dengan nilai di aljabar ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$. Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}}$. Integral Berezin adalah

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .}$

Perubahan variabel genap dan ganjil

Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n}$, di mana ${\displaystyle x_{i}}$ genap dan ${\displaystyle \theta _{j}}$ adalah polinomial ganjil dari ${\displaystyle \xi }$ bergantung pada variabel genap ${\displaystyle y}$. Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

di mana setiap turunan genap ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}}$ komuter dengan semua anggota dari aljabar ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$, turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal ${\displaystyle A={\frac {\partial x}{\partial y}}}$ dan ${\displaystyle D={\frac {\partial \theta }{\partial \xi }}}$ adalah genap dan entri dari blok off-diagonal ${\displaystyle B={\frac {\partial x}{\partial \xi }}}$, ${\displaystyle C={\frac {\partial \theta }{\partial y}}}$, di mana ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \xi _{j}}}}$ lagi berarti turunan kanan.

Kita sekarang perlu Berezinian (atau superdeterminan) dari matriks ${\displaystyle \mathrm {J} }$, yang di mana fungsi genap

${\displaystyle \mathrm {Ber~J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D^{-1}}$

mendefinisikan ketika fungsi ${\displaystyle \det D}$ invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$. Andaikan bahwa fungsi real ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$ mendefinisikan pemetaan invertible mulus ${\displaystyle F:Y\to X}$ dari himpunan terbuka ${\displaystyle X,Y}$ dalam ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ dan bagian linear dari ${\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )}$ invertible untuk setiap ${\displaystyle y\in Y}$. Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm {d} y,}$

di mana ${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} \left(\det \left({\frac {\partial x(y,0)}{\partial y}}\right)\right)}$ adalah tanda dari awalnya pemetaan ${\displaystyle F}$. Superposisi ${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))}$ mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )}$ tidak bergantung pada ${\displaystyle \xi }$. Dalam kasus umum, kita tulis ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i}}$, di mana ${\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m}$ adalah anggota nilpoten genap dari ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ dan himpunan

${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots }$,

di mana deret Taylor terbatas.