Aljabar

Grupoid adalah satu himpunan ${\displaystyle G}$ dengan operasi uner${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ dan fungsi parsial ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$ . * bukan operasi biner karena tidak harus ditentukan untuk semua pasangan elemen ${\displaystyle G}$. Kondisi yang tepat di bawahnya ${\displaystyle *}$ didefinisikan tidak diartikulasikan dan berbeda menurut situasi.

${\displaystyle \ast }$ dan ⁻¹ memiliki sifat aksiomatik berikut: Untuk semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle G}$,

1. Asosiatif: Jika ${\displaystyle a*b}$ dan ${\displaystyle b*c}$ didefinisikan, lalu ${\displaystyle (a*b)*c}$ dan ${\displaystyle a*(b*c)}$ didefinisikan ekuivalensi. Sebaliknya, jika ${\displaystyle (a*b)*c}$ dan ${\displaystyle a*(b*c)}$ didefinisikan, maka keduanya pula${\displaystyle a*b}$ dan ${\displaystyle b*c}$ sebaik ${\displaystyle (a*b)*c}$ = ${\displaystyle a*(b*c)}$ .
2. Invers: ${\displaystyle a^{-1}*a}$ dan ${\displaystyle a*{a^{-1}}}$ harus ditentukan.
3. Identitas: Jika ${\displaystyle a*b}$ didefinisikan, lalu ${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$, dan ${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$. (Dua aksioma sebelumnya sudah menunjukkan bahwa ekspresi ini didefinisikan dan tidak ambigu.)

Dua sifat mudah dengan aksioma berikut:

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ ,
• Jika ${\displaystyle a*b}$ didefinisikan ke ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$.^[3]

Kategori teoretis

Grupoid adalah kategori kecil di mana morfisme adalah isomorfisme, yaitu invertibel.^[1] Lebih tepatnya, grupoid G adalah:

• Satu himpunan G ₀ dari objek;
• Untuk setiap pasangan objek x dan y di G ₀, terdapat himpunan G( x, y ) morfisme (atau panah) dari x ke y . Kami menulis f : x → y untuk menunjukkan bahwa f adalah elemen dari G ( x, y ).
• Untuk setiap objek x, elemen yang ditentukan ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$ dari G ( x, x );
• Untuk setiap tiga objek x, y, dan z, fungsi ${\displaystyle \mathrm {komp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$ ;
• Untuk setiap pasangan objek x, y fungsi ${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$ ;

untuk setiap f : x → y, g : y → z, dan h : z → w :

• ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$ dan ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$ ;
• ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$ ;
• ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$ dan ${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$ .

Jika f merupakan unsur dari G( x, y ) maka x disebut sumber f, ditulis s( f ), dan y disebut target f, ditulis t( f).

Secara lebih umum, seseorang dapat mempertimbangkan objek grupoid dalam kategori arbitrer yang menerima produk serat hingga.

Membandingkan definisi

Definisi aljabar dan teori kategori adalah ekuivalen, sebagai contoh di atas tunjukkan. Diberikan grupoid dalam pengertian teori-kategori, misalkan G adalah satuan disjoin dari semua himpunan G( x, y ) (yaitu himpunan morfisme dari x ke y). Kemudian ${\displaystyle \mathrm {komp} }$ dan ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ menjadi operasi parsial pada G, dan ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ sebenarnya akan ditentukan di mana. Mendefinisikan ∗ menjadi ${\displaystyle \mathrm {komp} }$ dan ⁻¹ menjadi ${\displaystyle \mathrm {inv} }$, memberikan grupoid dalam arti aljabar. Referensi eksplisit ke G ₀ (dan karena ${\displaystyle \mathrm {id} }$) bisa dijatuhkan.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen ${\displaystyle \sim }$ pada elemen ${\displaystyle a\sim b}$ iff a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹. Misalkan G ₀ adalah himpunan kelas ekiuvalensi ${\displaystyle \sim }$, yaitu ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$ . Maka a ∗ a ⁻¹ dengan ${\displaystyle 1_{x}}$ jika ${\displaystyle a\in x}$ dengan ${\displaystyle x\in G_{0}}$.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen ${\displaystyle \sim }$ pada elemen ${\displaystyle a\sim b}$ iff a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹. Misalkan G ₀ adalah himpunan kelas ekiuvalensi ${\displaystyle \sim }$, yaitu ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$ . Maka a ∗ a ⁻¹ dengan ${\displaystyle 1_{x}}$ jika ${\displaystyle a\in x}$ dengan ${\displaystyle x\in G_{0}}$.

Sekarang jelaskan ${\displaystyle G(x,y)}$ sebagai himpunan dari semua elemen f sedemikian rupa ${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$. Diberikan ${\displaystyle f\in G(x,y)}$ dan ${\displaystyle g\in G(y,z),}$ komposit didefinisikan sebagai ${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$. Untuk melihat bahwa ini didefinisikan dengan baik, amati ${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$ dan ${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$, begitu pula ${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$ . Morfisme identitas pada x kemudian ${\displaystyle 1_{x}}$, dan kebalikan teori kategori dari f adalah f ⁻¹ .

Himpunan dalam definisi di atas dapat diganti dengan kelas, seperti yang umumnya terjadi dalam teori kategori.

Grup verteks

Diberikan grupoid G, grup verteks atau grup isotropi atau grupobjek di G adalah himpunan bagian dari bentuk G ( x, x ), di mana x adalah sembarang objek dari G. Dengan mudah dari aksioma di atas bahwa ini memang kelompok, karena setiap pasangan elemen dapat disusun dan invers berada dalam kelompok titik yang sama.

Kategori grupoids

Sebuah subgrupoid adalah subkategori yang merupakan grupoid. Morfisme grupoid sebuah fungsi antara dua grupoid (teori-kategori). Kategori di mana objek grupoid dan morfismenya adalah morfisme groupoid disebut kategori grupoid, atau kategori grupoids, dilambangkan dengan Grpd.

Kategori dengan kategori kecil, penutupan Kartesius. Artinya, dengan grupoids ${\displaystyle H,K}$ sebuah grupoid ${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$ di mana objeknya adalah morfisme ${\displaystyle H\to K}$ dan panahnya merupakan padanan alami dari morfisme. Maka, jika ${\displaystyle H,K}$ adalah grup, panah tersebut adalah konjugasi morfisme. Hasil utamanya adalah untuk grupoids ${\displaystyle G,H,K}$ bijeksi alami.

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

Hasil ini bahkan jika semua grupoids ${\displaystyle G,H,K}$ adalah grup.

Fibrasi dan kovergelanggang

Jenis morfisme tertentu dari grupoids adalah interist. Morfisme ${\displaystyle p:E\to B}$ grupoids disebut fibrasi jika untuk setiap objek ${\displaystyle x}$ dari ${\displaystyle E}$ dan setiap morfisme ${\displaystyle b}$ dari ${\displaystyle B}$ ke ${\displaystyle p(x)}$ adalah morfisme ${\displaystyle e}$ dari ${\displaystyle E}$ mulai dari ${\displaystyle x}$ seperti yang ${\displaystyle p(e)=b}$ . Fibrasi disebut kovergelanggang morfisme atau kovergelanggang grupoid jika ${\displaystyle e}$ adalah unik. Kovergelanggang morfisme dari grupoids sangat berguna karena dapat digunakan untuk memodelkan peta.^[4]

Bahwa kategori morfisme kovergelanggang grupoid tertentu ${\displaystyle B}$ adalah ekuivalen dengan kategori aksi grupoid tersebut ${\displaystyle B}$ di antara himpunan.

Topologi

Diberikan ruang topologi ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle G_{0}}$ adalah himpunan ${\displaystyle X}$. Morfisme dari inti ${\displaystyle p}$ ke titik ${\displaystyle q}$ adalah kelas kesetaraan dari jalur kontinu dari ${\displaystyle p}$ untuk ${\displaystyle q}$, dengan dua jalur ekuivalen jika homotopi. Dua morfisme disusun dengan jalur pertama, maka kedua; ekuivalen homotopi bahwa komposisi bersifat asosiatif. Grupoid disebut grupoid fundamental dari ${\displaystyle X}$, dilambangkan ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ (atau terkadang, ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ ).^[5] Grup fundamental biasa ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ kemudian grup puncak untuk titik tersebut ${\displaystyle x}$. Untuk ruang yang terhubung dengan jalur, grupoid fundamental dan grup fundamental bertepatan, dan operasi komposisi ditentukan untuk semua pasangan kelas kesetaraan.

Perpanjangan penting dari gagasan ini adalah dengan mempertimbangkan grupoid fundamental ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ di mana ${\displaystyle A\subset X}$ adalah himpunan "titik dasar" yang dipilih. Hanya mempertimbangkan jalur yang memiliki titik akhir ${\displaystyle A}$ . ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ adalah sub-grupoid dari ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$. Himpunan ${\displaystyle A}$ dapat dipilih sesuai dengan geometri situasi yang dihadapi.

Relasi ekuivalen

Jika ${\displaystyle X}$ adalah himpunan dengan relasi ekuivalen dilambangkan dengan infiks ${\displaystyle \sim }$, maka grupoid yang "mewakili" relasi ekuivalensi dibentuk sebagai berikut:

• Objek grupoid adalah elemen ${\displaystyle X}$;
• Untuk dua elemen apa pun ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle X}$, ada satu morfisme dari ${\displaystyle x}$ untuk ${\displaystyle y}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x\sim y}$ .

Tindakan grup

Jika grup ${\displaystyle G}$ di lokasi ${\displaystyle X}$, maka kita dapat membentuk aksi grupoid (atau transformasi grupoid ) yang merepresentasikan tindakan grup ini sebagai berikut:

• Objek adalah elemen ${\displaystyle X}$ ;
• Untuk dua elemen ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle X}$, morfisme dari ${\displaystyle x}$ untuk ${\displaystyle y}$ sesuai dengan elemen ${\displaystyle g}$ dari ${\displaystyle G}$ dengan ${\displaystyle gx=y}$ ;
• Komposisi morfisme menafsirkan operasi biner ${\displaystyle G}$ .

Lebih jelasnya, aksi grupoid adalah kategori kecil dengan ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$ dan ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$ dengan peta sumber target ${\displaystyle s(g,x)=x}$ dan ${\displaystyle t(g,x)=gx}$ . Dilambangkan dengan ${\displaystyle G\ltimes X}$ (atau ${\displaystyle X\rtimes G}$ ). Perkalian (atau komposisi) di grupoid kemudian ${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$ ditentukan dengan ${\displaystyle y=gx}$ .

Untuk ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$, grup puncak terdiri dari ${\displaystyle (g,x)}$ dengan ${\displaystyle gx=x}$, merupakan subgrup isotropi di ${\displaystyle x}$ untuk aksi diberikan grup simpul (juga disebut grup isotropi).

Cara lain untuk mendeskripsikan himpunan-${\displaystyle G}$ adalah kategori funktor ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Himpunan} ]}$, di mana ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ adalah grupoid (kategori) dengan satu elemen dan isomorfik ke grup ${\displaystyle G}$. Memang, setiap funktor ${\displaystyle F}$ dari kategori mendefinisikan satu himpunan ${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$ dan untuk setiap ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$ (yaitu untuk setiap morfisme dalam ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ) dari bijeksi ${\displaystyle F_{g}}$ : ${\displaystyle X\to X}$ . Struktur kategoris dari funktor ${\displaystyle F}$ meyakinkan kami bahwa ${\displaystyle F}$ mendefinisikan aksi-${\displaystyle G}$ di lokasi syuting ${\displaystyle G}$. Funktor (unik) diwakili ${\displaystyle F}$ : ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ → ${\displaystyle \mathrm {Himpunan} }$ adalah representasi Cayley dari ${\displaystyle G}$. Faktanya, fungsi isomorfik ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$ dan ${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$ ke himpunan ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$ menurut definisi "himpunan" ${\displaystyle G}$ dan morfisme ${\displaystyle g}$ dari ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ (yaitu elemen ${\displaystyle g}$ dari ${\displaystyle G}$) ke permutasi ${\displaystyle F_{g}}$ himpunan ${\displaystyle G}$. Menyimpulkan dari embedding Yoneda grup ${\displaystyle G}$ isomorfik ke grup ${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$, Subgrup dari grup permutasi ${\displaystyle G}$.

Himpunan hingga

Pertimbangkan himpunan hingga ${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$, membentuk aksi grup ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ aksi ${\displaystyle X}$ dengan membuat setiap bilangan menjadi negatif, maka ${\displaystyle -2\mapsto 2}$ dan ${\displaystyle 1\mapsto -1}$. Grupoid hasil bagi ${\displaystyle [X/G]}$ adalah himpunan kelas kesetaraan dari aksi grup ${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$, dan ${\displaystyle [0]}$ aksi grup ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ di atasnya.

Variasi hasil bagi

Dalam ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$, grup hingga di mana ${\displaystyle G}$ yang memetakan ke ${\displaystyle GL(n)}$ diberikan aksi grup ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ (karena ini adalah grup automorfisme). Kemudian, grupoid hasil bagi dibentuk ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$, yang memiliki satu titik dengan stabilizer ${\displaystyle G}$. Contoh membentuk dasar teori orbifold. Keluarga orbifold lain yang umum dipelajari adalah ruang proyektif berbobot ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$ dan subruangnya, dengan orbifold Calabi-Yau.

Produk fiber grupoids

Diberikan diagram grupoid dengan morfisme grupoid

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

di mana ${\displaystyle f:X\to Z}$ dan ${\displaystyle g:Y\to Z}$, membentuk grupoid ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ objeknya tiga kali lipat ${\displaystyle (x,\phi ,y)}$, di mana ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$, ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$, dan ${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$ di ${\displaystyle Z}$. Morfisme dapat diartikan sebagai sepasang morfisme ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ di mana ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ dan ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ untuk tiga kali lipat ${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$, diagram komutatif di ${\displaystyle Z}$ dari ${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$, ${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$ dan ${\displaystyle \phi ,\phi '}$.^[6]

Aljabar homologis

Kompleks dua istilah

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

objek dalam kategori Abelian komkret digunakan untuk membentuk grupoid. Objek himpunan ${\displaystyle C_{0}}$ dan panah ${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$ di mana morfisme sumber proyeksi di atas ${\displaystyle C_{0}}$ sedangkan morfisme target adalah penambahan proyeksi ke atas ${\displaystyle C_{1}}$ disusun dengan ${\displaystyle d}$ dan proyeksi ke ${\displaystyle C_{0}}$. Artinya, diberikan ${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$ dirumuskan

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}}$

Tentu saja, jika kategori abelian adalah kategori berkas gandum yang koheren pada suatu skema, maka konstruksi ini dapat digunakan untuk membentuk lembaran awal groupoids.

Teka-teki

Sementara teka-teki seperti Kubus Rubik dapat dimodelkan menggunakan teori grup (lihat grup Kubus Rubik ), teka-teki tertentu lebih dimodelkan sebagai grupoids.^[7]

Transformasi dari lima belas teka-teki membentuk groupoid (bukan grup, karena tidak semua gerakan dapat disusun).^[8][9][10] Grupoid bekerja dengan konfigurasi.

Grupoid Mathieu

Grupoid Mathieu adalah grupoid diperkenalkan oleh John Horton Conway bekerja pada 13 titik sedemikian rupa sehingga unsur-unsur yang menetapkan titik membentuk salinan dari grup Mathieu M₁₂.

Relasi dengan Kat

Inklusi ${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Kat} }$ memiliki adjoint kiri dan kanan:

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Kat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Kat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Kore} (C))}$

Maka, ${\displaystyle C[C^{-1}]}$ menunjukkan lokalisasi kategori yang membalikkan setiap morfisme, dan ${\displaystyle \mathrm {Kore} (C)}$ menunjukkan subkategori semua isomorfisme.

Relasi dengan hHimpunan

Fungsi saraf ${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {hHimpunan} }$ embed Grpd sebagai subkategori kompleks dari kategori himpunan sederhana. Saraf grupoid selalu Kan kompleks.

Saraf memiliki adjoin kiri

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {hHimpunan} }(X,N(G))}$

Maka, ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ menunjukkan grupoid fundamental dari himpunan sederhana X.

Grupoids di Grpd

Terdapat struktur tambahan yang dapat diturunkan dari grupoid internal ke kategori grupoids, double-groupoids.^[12][13] Karena Grpd adalah kategori 2, objek membentuk kategori 2 daripada kategori 1 karena terdapat struktur tambahan. Pada dasarnya, ini adalah grupoids ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$ dengan funktors

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

dan embedding yang diberikan oleh sebuah fungsi identitas

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Salah satu cara untuk memikirkan tentang 2-grupoids ini adalah objek, morfisme, dan persegi yang dapat disusun bersama secara vertikal dan horizontal. Misalnya, persegi yang diberikan

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$ dan ${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

dengan ${\displaystyle a}$ morfisme yang sama, digabungkan secara vertikal memberikan diagram

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

yang dapat diubah menjadi persegi lain dengan menyusun panah vertikal. Tedapat hukum komposisi serupa untuk lampiran persegi horizontal.