Transformasi Fourier, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.

Lihat juga: Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier.

Definisi

Transformasi Fourier dari suatu fungsi f secara tradisional dilambangkan ${\displaystyle {\hat {f}}}$, dengan menambahkan sirkumfleks ke simbol fungsi. Ada beberapa konvensi umum untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi integrable ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$.^[1][2] One of them is

untuk semua bilangan riil ξ.

Alasan tanda negatif dalam eksponen adalah persamaan dalam teknik elektro menjadi , yaitu by ${\displaystyle f(x)=e^{2\pi i\xi _{0}x}}$ sinyal dengan fase dan frekuensi awal nol ${\displaystyle \xi _{0}.}$^{[3][remark 1]} Konvensi tanda negatif menyebabkan produk ${\displaystyle e^{2\pi i\xi _{0}x}e^{-2\pi i\xi x}}$ to be 1 (frekuensi nol) kapan ${\displaystyle \xi =\xi _{0},}$ menyebabkan integral menyimpang. Hasilnya adalah Fungsi delta Dirac di ${\displaystyle \xi =\xi _{0}}$, yang merupakan satu-satunya komponen frekuensi dari sinyal sinusoidal ${\displaystyle e^{2\pi i\xi _{0}x}.}$

Ketika variabel independen x mewakili waktu, variabel transformasi ξ mewakili frekuensi (contohnya, jika waktu diukur dalam detik, maka frekuensi dalam hertz). Dalam kondisi yang sesuai, f ditentukan oleh ${\displaystyle {\hat {f}}}$ melalui transformasi terbalik:

untuk bilangan riil untuk fungsi x.

Pernyataan dari mana f dapat menentukan ${\displaystyle {\hat {f}}}$ dikenal sebagai Teorema inversi Fourier, dan pertama kali diperkenalkan di Fourier Analytical Theory of Heat,^[4][5] meskipun apa yang akan dianggap sebagai bukti menurut standar modern tidak diberikan sampai lama kemudian.^[6][7] Fungsi f dan ${\displaystyle {\hat {f}}}$ sering disebut sebagai pasangan integral Fourier atau pasangan transformasi Fourier.^[8]

Untuk konvensi dan notasi umum lainnya, termasuk menggunakan frekuensi sudut ω alih-alih frekuensi ξ, lihat Konvensi lain dan Notasi lainnya di bawah. The Transformasi Fourier pada ruang Euklides diperlakukan secara terpisah, di mana variabel x sering mewakili posisi dan momentum ξ. Konvensi yang dipilih dalam artikel ini adalah yang analisis harmonik, dan dicirikan sebagai konvensi unik sehingga transformasi Fourier keduanya pada L² dan homomorfisme aljabar dari L¹ untuk L^∞, tanpa menormalkan kembali ukuran Lebesgue.^[9]

Banyak karakterisasi lain dari transformasi Fourier ada. Misalnya, seseorang menggunakan Teorema Stone–von Neumann: Transformasi Fourier adalah kesatuan unik intertwiner untuk representasi simplektis dan Euklides Schrödinger dari kelompok Heisenberg.

Pengertian

Ada beberapa pengertian mengenai definisi transformasi Fourier ƒ̂ dari sebuah fungsi integrasi ƒ: R → C.^[10] Secara umum, definisi transformasi Fourier adalah:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$,   untuk setiap bilangan riil ξ.

Sejarah

Pada tahun 1822, Joseph Fourier menunjukkan bahwa beberapa fungsi dapat ditulis sebagai jumlah harmonisa yang tak terbatas.^[11]

Catatan kaki

Referensi

• Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (also available online: )
• A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4

Lihat pula

• Transformasi Nomor Teoritik
• Transformasi Laplace
• Transformasi Laplace dua sisi
• Transformasi Mellin
• Fungsi Orthogonal
• Wavelet
• Chirplet
• Fungsi karakteristik (teori kemungkinan)
• Bispectrum
• Spektrofotometer Fourier Transform Infra Red

Pranala luar

• Online Computation Diarsipkan 2005-11-10 di Wayback Machine. of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

1. ↑ Fungsi dari ${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)\equiv \cos(-2\pi \xi _{0}x)}$ juga merupakan sinyal dengan frekuensi ${\displaystyle \xi _{0}}$, tetapi integral jelas menghasilkan tanggapan yang identik pada keduanya ${\displaystyle \xi _{0}}$ dan ${\displaystyle -\xi _{0}}$, yang juga konsisten dengan rumus Euler: ${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i2\pi \xi _{0}x}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i2\pi \xi _{0}x}.}$