Barcelona
Lahir di Matadepera, Barcelona, Catalunya, Puig bergabung dengan akademi muda Barcelona La Masia pada tahun 2013, dari UFB Jàbac Terrassa.[4] Setelah menunjukkan progres selama dengan tim muda, ia melakukan debut seniornya sebagai tim cadangan pada 24 Februari 2018, yang masuk di babak kedua menggantikan Marcus McGuane dalam hasil imbang 1-1 melawan Gimnàstic Tarragona di kejuaraan Segunda División.[5]
Pada 11 Juni 2018, Puig memperbarui kontraknya dengan Barça hingga 2021, dan dipromosikan ke tim B di Segunda División B.[6] Dia melakukan debut tim pertamanya pada tanggal 5 Desember, menggantikan sesama lulusan pemain muda Oriol Busquets pada menit ke-55 dari pertandingan kandang 4-1 dari Cultural Leonesa, di Copa del Rey musim ini ; dia juga membantu Denis Suárez, yang mencetak gol keempat Barcelona.
Puig melakukan debutnya di La Liga pada 13 April 2019, bermain sebagai starter dan bermain selama 67 menit, dalam hasil imbang 0-0 melawan Huesca.[7] Dia mencetak gol pertamanya untuk Barça B pada 14 September, yang kedua dalam hasil imbang 2–2 melawan AE Prat.[8]
Pada 6 Oktober 2020, Puig dipromosikan ke tim utama, dengan mengenakan nomor punggung 12 yang sebelumnya dikenakan Rafinha.[9]
Pada 13 Januari 2021, Puig mencetak penalti kemenangan dalam adu penalti (Barcelona menang 3–2) setelah ditahan imbang 1-1 di akhir perpanjangan waktu oleh Real Sociedad di semifinal Supercopa de España.[10] Pada 24 Januari 2021, Puig mencetak gol pertamanya untuk tim utama dalam kemenangan tandang 2-0 di La Liga melawan Elche, ketika ia menyundul gol kedua Barcelona dari bantuan Frenkie de Jong.[11]
Sepanjang musim 2020-2021, ia kesulitan mendapatkan menit bermain di bawah asuhan manajer Ronald Koeman. Di musim berikutnya di bawah manajer baru Xavi, perjuangannya untuk mendapatkan menit bermain terus berlanjut dan mendapat waktu bermain yang lebih sedikit daripada di bawah Koeman.[12]
LA Galaxy
Pada 4 Agustus 2022, LA Galaxy mendatangkan Puig menggunakan skema Targeted Allocation Money (TAM), di mana Barcelona berhak membeli kembali dan 50% dari penjualan di masa mendatang. Dia menandatangani kontrak tiga setengah tahun hingga akhir musim 2025.[13][14]
Pada tanggal 31 Agustus, ia mencetak gol pertamanya untuk klub dalam hasil imbang 2-2 melawan Toronto di MLS.[15]
Pada 18 September 2022, Puig mencatat tiga assist untuk Galaxy dalam kemenangan 4-1 mereka atas Colorado Rapids, menjadi pemain MLS pertama sejak 2014 yang mencatat tiga assist dalam satu pertandingan.[16]