Solusi

Dalam hasil bagi   ${\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$, jika diasumsikan   ${\displaystyle t=1/x}$   untuk menyederhanakan hasil bagi ini menjadi fungsi ${\displaystyle f}$ dengan satu variabel ${\displaystyle y/x}$:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

Kemudian dilakukan perubahan variabel ${\displaystyle y=ux}$; lalu diturunkan dengan aturan produk:

${\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,}$

sehingga mengubah persamaan diferensial ini menjadi bentuk yang dapat dipisahkan

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=f(u)-u\,;}$

Persamaan ini kini dapat diintegralkan secara langsung.

Kasus khusus

Persamaan diferensial tingkat persama dalam bentuk berikut: (a, b, c, e, f, g semuanya konstanta)

${\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}$

dengan af ≠ be dapat diubah menjadi persamaan homogen lewat transformasi linear kedua variabel (${\displaystyle \alpha }$ dan ${\displaystyle \beta }$ adalah konstanta):

${\displaystyle t=x+\alpha$ ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}

Contoh

${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0}$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde kedua.

${\displaystyle a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0}$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde pertama