Pendekatan pertama

Pendekatan pertama^[7] untuk mengembangkan variabel yang diubah ${\displaystyle x_{t}}$, ketika ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ ditulis sebagai

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

di mana ${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$ dan ${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$ dan di mana ${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$.

Penulisan lebih lanjut ${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$ ditampilkan sebagai hasil

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

Pendekatan kedua

Pendekatan ini^[8] diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk ${\displaystyle x_{t}}$ alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana ${\displaystyle (d-a)^{2}+4bc}$ bukanlah negatif. Tulis sebagai ${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$ diimplikasikan ${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$, di mana ${\displaystyle \eta }$ yang diberikan oleh ${\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c}$ dan di mana ${\displaystyle r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}}$. Maka dapat ditunjukkan bahwa ${\displaystyle x_{t}}$ dievolusikan sebagai

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

Pendekatan ketiga

Persamaan

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

di mana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah^[9]

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

di mana

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$