Arti pembagian

Pembagian ⁠${\displaystyle N/D=Q}$⁠ dapat secara konsep diinterpretasi dalam beberapa cara.^[1]

Dalam pembagian hasil bagi, pembilang ⁠${\displaystyle N}$⁠ dapat dibayangkan terbagi menjadi potongan seukuran ⁠${\displaystyle D}$⁠ (penyebut), dan hasil bagi ⁠${\displaystyle Q}$⁠ adalah jumlah bagian yang dihasilkan. Misalnya, bayangkan sepuluh lembar roti akan dibuat menjadi roti lapis (sandwich) yang masing-masing membutuhkan dua lembar roti. Maka, lima roti lapi dapat dibuat (atau jika ditulis secara matematika, ⁠${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$⁠). Sekarang, bayangkan jika tidak ada satu lembar roti pun yang dibutuhkan untuk setiap sandwich (misalnya karena roti lapis tersebut dibungkus selada). Maka logikanya, banyak sekali roti lapis seperti itu dapat dibuat dari sepuluh lembar roti, karena keberadaan roti tidak lagi relevan atau dibutuhkan.^[2]

Konsep pembagian semacam itu juga berlaku sama jika dihitung dengan pengurangan berulang: pembagian merupakan penghitungan berapa kali pembilang dikurangi oleh penyebut hingga pembilang habis. Karena pengurangan dengan nol tidak akan pernah menghabiskan pembilang, menghitung pembagian dengan nol dengan cara ini menghasilkan pengurangan yang tidak pernah berakhir.^[3] Algoritma pembagian dengan nol yang takterhingga seperti itu dapat diunjukkan oleh beberapa kalkulator mekanik.^[4]

Dalam pembagian partitif, pembilang ⁠${\displaystyle N}$⁠ dibayangkan terbagi menjadi ⁠⁠${\displaystyle D}$⁠ bagian, dan hasil bagi ⁠${\displaystyle Q}$⁠ adalah hasil dari masing-masing bagian. Misalnya, bayangkan sepuluh kue akan dibagi di antara dua teman. Setiap teman akan menerima lima kue (⁠${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$⁠). Bayangkan jika sepuluh kue tersebut dibagi kepada nol teman. Berapa banyak kue yang akan diterima setiap teman? Karena tidak ada teman, ini adalah suatu hal yang tidak masuk akal.^[5]

Dalam pemaknaan lain, hasil bagi ⁠⁠${\displaystyle Q}$⁠ melambangkan rasio ⁠${\displaystyle N:D}$⁠.^[6] Misalnya, suatu resep kue mungkin membutuhkan sepuluh sendok tepung dan dua sendok gula, yang dilambangkan dalam rasio ⁠⁠${\displaystyle 10:2}$⁠ atau setara dengan ⁠${\displaystyle 5:1}$⁠. Untuk menyesuaikan resep yang sama untuk membuat jumlah kue yang lebih banyak atau lebih sedikit, rasio tepung dan gula yang setara ⁠⁠${\displaystyle 5:1}$⁠⁠ dapat dipertahankan, misalnya satu sendok tepung dan seperlima sendok gula, atau lima puluh sendok tepung dan sepuluh sendok gula.^[7] Sekarang bayangkan resep kue bebas gula yang membutuhkan sepuluh cangkir tepung dan nol cangkir gula. Rasio ⁠⁠${\displaystyle 10:0}$⁠ atau setara dengan ⁠${\displaystyle 1:0}$⁠ sangat masuk akal^[8] karena rasio tersebut hanya berarti bahwa kue tersebut tidak mengandung gula. Namun, pertanyaan "Berapa bagian tepung untuk setiap bagian gula?" masih belum memiliki jawaban dalam bilangan yang bermakna.

Kebalikan dari perkalian

Pembagian pada dasarnya adalah pembalikan dari perkalian, yang artinya mengali dan kemudian membagi dengan nilai bukan nol yang sama ataupun sebaliknya, akan menghasilkan nilai yang sama; contohnya ⁠${\displaystyle (5\times 3)/3=(5/3)\times 3=5}$⁠.^[9] Maka soal pembagian seperti "berapakah 6 dibagi 3?" dapat dijawab dengan menulisnya ulang sebagai persamaan yang ekuivalen dengan melibatkan perkalian, "bilangan berapa yang dikali 3 sama dengan 6?", dan mencari nilai yang benar untuk tiap pernyataan. Soal tersebut dapat ditulis dalam simbol ⁠${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$⁠ atau secara ekuivalen ⁠${\displaystyle {?}\times 3=6}$⁠, di mana ⁠${\displaystyle$ ?} ⁠ melambangkan nilai yang sama dalam tiap persamaan; dalam hal ini nilai tersebut diketahui sebagai ⁠${\displaystyle 2}$⁠, karena ⁠${\displaystyle 2\times 3=6}$⁠, sehingga ⁠${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2}$⁠.^[10]

Soal sejenis yang melibatkan pembagian dengan nol, ⁠${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?}}$⁠, mengharuskan penjawabnya menentukan nilai yang dapat memenuhi persamaan ⁠${\displaystyle {?}\times 0=6}$⁠. Namun, setiap angka yang dikalikan dengan nol hasilnya sama dengan nol, bukan enam, sehingga tidak ada angka yang dapat menggantikan ⁠${\displaystyle$ ?} ⁠ untuk membuat persamaan yang benar.^[11]

Ketika soal diganti menjadi ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?}}$⁠, pernyataan yang ekuivalen dalam perkalian menjadi ⁠${\displaystyle {?}\times 0=0}$⁠; dalam hal ini nilai berapa pun dapat menggantikan tanda tanya untuk menghasilkan persamaan yang benar, sehingga tidak ada satu bilangan yang dapat menjawab hasil bagi ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$⁠.

Karena kerumitan semacam ini, hasil bagi di mana penyebutnya sama dengan nol biasanya dianggap sebagai tidak terdefinisi, dan pembagian dengan nol tidak diizinkan.^[12][13]

Kesesatan

Salah satu alasan kuat untuk tidak mengizinkan pembagian dengan nol adalah karena mengizinkannya akan menyebabkan kesesatan.

Dengan menggunakan angka, mudah untuk mengenali pembagian dengan nol yang ilegal. Misalkan:

From ⁠${\displaystyle 0\times 1=0}$⁠ dan ⁠${\displaystyle 0\times 2=0}$⁠ seseorang dapat membuat ⁠${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$⁠. Mencoret ⁠${\displaystyle 0}$⁠ dari kedua sisi menghasilkan ⁠${\displaystyle 1=2}$⁠, sebuah persamaan yang salah.

Kesesatan di sini muncul dari asumsi bahwa boleh untuk mencoret ⁠${\displaystyle 0}$⁠ sama seperti bilangan lain, di mana sesungguhnya melakukan hal tersebut merupakan bentuk lain dari pembagian dengan ⁠${\displaystyle 0}$⁠.

Dengan aljabar, seseorang dapat menyamarkan pembagian dengan nol^[14] untuk menghasilkan persamaan yang tidak sah. Contoh:^[15]

Anggap saja ⁠${\displaystyle x=1}$⁠. Kalikan kedua sisi dengan ⁠${\displaystyle x}$⁠ untuk mendapat ⁠${\displaystyle \textstyle x=x^{2}}$⁠. Kurangi ⁠${\displaystyle 1}$⁠ di tiap sisi untuk mendapat $${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$ Sisi kanan dapat difaktorkan, $${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$ Membagi kedua sisi dengan ⁠${\displaystyle x-1}$⁠ akan menghasilkan $${\displaystyle 1=x+1.}$$ Mengganti ⁠${\displaystyle x=1}$⁠ akan menghasilkan $${\displaystyle 1=2.}$$

Ini pada dasarnya penghitungan yang salah sama seperti perhitungan sebelumnya, namun pembagian dengan nol disamarkan karena kita menulis ⁠${\displaystyle 0}$⁠ sebagai ⁠${\displaystyle x-1}$⁠.