Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monoid (atau benda monoid) (M, μ, η) dalam kategori monoidal (C, ⊗, I) adalah objek M bersama dengan dua morfisme

• μ: M ⊗ M → M disebut perkalian,
• η: I → M adalah unit,

sedemikian rupa sehingga segi lima diagram

dan diagram unitor

Gambar di atas adalah sifat komutatif. Dalam notasi di atas, I adalah elemen satuan dan α, λ dan ρ adalah asosiatif, identitas kiri dan identitas kanan dari kategori monoid C.

Monoid yang lain, komonoid dalam kategori monoid C adalah monoid dalam kategori ganda C^op.

Misal, kategori monoidal C memiliki simetri γ. Monoid M dalam C adalah sifat komutatif dengan μ o γ = μ.

Contoh

• Sebuah objek monoid dalam Himpunan, kategori himpunan (dengan struktur monoid induksi dari produk Kartesius), adalah monoid dalam arti biasa.
• Objek monoid di Atas dengan kategori ruang topologi (dengan struktur monoid induksi dari topologi produk), adalah monoid topologi.
• Objek monoid dalam kategori monoid (dengan produk langsung dari monoid) hanyalah sebuah monoid komutatif. Dengan menggunakan sifat Argumen Eckmann–Hilton.
• Objek monoid dalam kategori semikisi-gabungan kompleks Sup (dengan struktur monoid induksi dari produk Kartesius) adalah kuantale unital.
• Objek monoid (Ab, ⊗_Z, Z), kategori grup abelian, adalah gelanggang.
• Untuk gelanggang komutatif R, objek monoid, khusus
  • (R-Mod, ⊗_R, R), kategori modul di atas R, adalah aljabar-R.
  • Kategori modul bertingkat adalah aljabar-R bertingkat.
  • kategori kompleks rantai dari modul-R adalah aljabar bertingkat diferensial.
• Objek monoid dalam K -Vekt, kategori ruang vektor-K (dengan hasil kali tensor), adalah aljabar-K, dan objek komonoid adalah koaljabar-K.
• Untuk setiap kategori C, kategori [C, C] dari endofunktor memiliki struktur monoid yang diinduksi oleh komposisi dan identitas funktor I_C. Objek monoid [C,C] adalah monad dengan C.
• Untuk kategori dengan produk hingga, setiap objek menjadi objek komonoid melalui morfisme diagonal ${\displaystyle \Delta _{X}:X\to X\times X}$. Menggandakan dalam kategori dengan koproduk hingga untuk objek menjadi objek monoid dengan ${\displaystyle id_{X}\sqcup id_{X}:X\sqcup X\to X}$.

Kategori monoid

Diberikan dua monoid (M, μ, η) dan (M', μ', η') dalam kategori monoidal C, morfisme f : M → M ' adalah morfisme monoid saat

• f o μ = μ' o (f ⊗ f),
• f o η = η'.

Dengan kata lain, diagram berikut

,

perjalanan.

Kategori monoid di C dan morfisme monoidnya ditulis Mon_C.^[1]

Lihat pula

• Tindakan-S, kategori monoid yang bekerja pada himpunan

Referensi

• Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin ISBN 3-11-015248-7