Dalam geometri diskret mengenai bidang, masalah einstein menanyakan keberadaan protitile [en] tunggal yang membentuk sendiri kumpulan protitile yang aperiodik. Maksudnya adalah bentuk tersebut dapat mengubin ruang tapi tidak periodik. Bentuk tersebut dinamakan einstein, permainan kata bahasa Jerman ein Stein, yang artinya "sebuah batu".^[1]

Adapun berbagai variasi masalah, tergantung definisi non-periodisitas tertentu dan spesifikasi kumpulan atau himpunan manakan yang dapat dianggap sebagai ubin dan jenis aturan yang sesuai manakah yang diperbolehkan. Permasalahan tersebut sudah terpecahkan di awal tahun 1990-an. Versi yang paling ketat permasalahan ini sudah terpecahkan pada tahun 2023, setelah penemuan awal di tahun 2022.

Masalah einstein dapat dipandang sebagai ekstensi alami dari bagian kedua masalah kedelapanbelas Hilbert, yang menanyakan polihedron tunggal yang mengubin di ruang Euklides berdimensi tiga, tetapi tidak ada pengubinan polihedron tersebut yang isohedral.^[2] Ubin anisohedral tersebut ditemukan oleh Karl Reinhardt pada tahun 1928, tetapi ubin tersebut mengubin ruang secara periodik.

Beberapa penyelesaian yang diajukan

Pada tahun 1988, Peter Schmitt menemukan prototile aperiodik tunggal di ruang Eukildes berdimensi tiga. Meskipun tidak ada ubin oleh prototile tersebut memungkinan translasi sebagai simetri, ada yang memiliki sifat simetri screw. Operasi screw melibatkan kombinasi translasi dan rotasi melalui kelipatan irasional dari π, sehingga tidak ada banyaknya operasi berulang yang menghasilkan translasi murni. Konstruksi tersebut kemudian diperluas oleh John Horton Conway dan Ludwig Danzer menjadi prototile aperiodik konveks, ubin Schmitt–Conway–Danzer. Akibat kehadiran simetri tersebut, sifat-sifat non-periodisitas dievaluasi ulang.^[3] Chaim Goodman-Strauss mengatakan bahwa suatu ubin dipandang strongly aperiodic jika tidak memenuhi grup siklik tak terhingga dari gerak Euklides sebagai simetri, dan hanya himpunan ubin yang memaksa strong aperiodicity dikatakan strongly aperiodic, sedangkan himpunan lainnya dikatakan weakly aperiodic.^[4]

Pada tahun 1996, Petra Gummelt mengonstruksi ubin dekagonal terdekorasi serta menunjukkan bahwa ketika ada dua jenis ubin tumpang tindih di antara pasangan ubin dimungkinkan, ubin dapat menyelimuti bidang, tetapi non-periodik.^[5] ubin biasanya semestinya menyelimuti tetapi tidak tumpang tindih. Jadi ubin Gummelt tidak dianggap sebuah prototile aperiodik. Kumpulan ubin aperiodik di bidang Euklides yang hanya mencakup satu ubin, ubin Socolar–Taylor, diusulkan pada awal tahun 2010 oleh Joshua Socolar dan Joan Taylor.^[6] Konstruksi tersebut memerlukan aturan yang sesuai, aturan yang membatasi orientasi relatif dari dua ubin dan menciptakan acuan dekorasi yang digambarkan ubin-ubin tersebut. Aturan-aturan tersebut berlaku untuk pasangan ubin yang tidak berdampingan. Kemungkinan lainnya, suatu ubin yang tidak terdekorasi tanpa aturan yang sesuai dapat dikonstruksi, tetapi ubinnya malah tidak terhubung. Konstruksi tersebut dapat diperluas ke dalam tiga dimensi, menghubungkan ubin tanpa aturan yang sesuai. Namun ubin tersebut memungkinkan pengubinan yang periodik di satu arah, sehingga hanya dianggap sebagai weakly aperiodic. Lebih lanjut, ubin tersebut tidak terhubung sederhana.

"Hat" dan "Spectre"

Ubin yang ditemukan oleh David Smith

Salah satu keluarga ubin Smith–Myers–Kaplan–Goodman-Strauss tak terhingga. Ubin yang berwarna kuning adalah versi cerminan dari ubin berwarna biru.

Pada November 2022, matematikawan amatir David Smith menemukan ubin berbentuk topi (dinamakan "hat") yang dibentuk dari delapan layang-layang yang sama, sudut dalamnya masing-masing 60°, 90°, 120°, dan 90°. Kumpulan layang-layang tersebut ditempelkan sisi ke sisi, yang tampaknya seperti sebuah ubin aperiodik di bidang.^[7] Smith merekrut matematikawan Craig S. Kaplan, kemudian Joseph Samuel Myers dan Chaim Goodman-Strauss. Pada Maret 2023, mereka mengunggah pracetak, membuktikan bahwa ubin "hat", ketika dicerminkan membentuk kumpulan prototile aperiodik.^[8][9] Lebih lanjut, ubin tersebut dapat diperumum menjadi keluarga ubin tak terhingga dengan sifat aperiodik yang sama. Hingga pada July 2024, hasil tersebut secara resmi diterbitkan dalam jurnal Combinatorial Theory.^[8]

Tile(1,1) dari Smith, Myers, Kaplan & Goodmann-Strauss di gambar sebelah kiri. Suatu ubin spectre dihasilkan dengan memodifikasi sisi poligon tersebut seperti contoh di gambar tengah dan kanan.

Pada Mei 2023, Smith, Myers, Kaplan, dan Goodman-Strauss mengunggah pracetak tentang keluarga bentuk yang berkaitan dengan ubin "hat", namanya "spectres". Tiap ubin tersebut dapat diubinkan di bidang hanya dengan rotasi dan translasi.^[10] Lebih lanjut, "spectre" adalah monotile aperiodik yang "kiral sempurna": meskipun dicerminkan, setiap pengubinan menghasilkan sifat non-periodik dan hanya menghasilkan satu kiralitas dari ubin tersebut. Maksudnya, tidak ada pengubinan bidang yang menggunakan ubin "spectre" beserta cerminannya.

Pada tahun 2023, kontes publik dijalankan National Museum of Mathematics di Kota New York dan United Kingdom Mathematics Trust di London menanyakan penduduk untuk mengajukan kreativitas yang berhubungan dengan ubin "hat". Lebih dari 245 pengajuan yang berasal dari 32 negara, tiga pemenang dipilih dan diterima hadiah di seremoni House of Commons.^[11][12]

Catatan kaki

Referensi