Idempoten adalah sifat beberapa operasi tertentu di matematika dan ilmu komputer. Operasi yang memiliki sifat ini dapat diterapkan (dilakukan) beberapa kali tanpa memberikan hasil berbeda dengan hasil penerapan pertama kali. Konsep idempoten muncul dalam beberapa hal di aljabar abstrak (khususnya, dalam teori proyektor dan closure operators) dan pada pemrograman fungsional (yang berhubungan dengan sifat referential transparency).

Istilah ini diperkenalkan oleh Benjamin Peirce,^[1] ketika membahas unsur aljabar yang tidak berubah ketika dipangkatkan dengan sebuah bilangan bulat positif. Idempoten berasal dari gabungan kata idem dan potence ("sama" dan "pangkat"), dan secara harfiah berarti "(kemampuan memiliki) hasil pangkat yang sama".

Definisi

Suatu elemen ${\displaystyle x}$ dari sebuah himpunan ${\displaystyle S}$ yang dilengkapi dengan operator biner ${\displaystyle \cdot }$ dikatakan idempoten jika berlaku ${\displaystyle x\cdot x=x}$.^[2][3] Operator biner ${\displaystyle \cdot }$ dikatakan idempoten jika ${\displaystyle x\cdot x=x}$ untuk semua elemen di ${\displaystyle S}$.^[4][5]

Contoh

Berikut beberapa contoh objek matematika dan sifat idempoten mereka:

• Bilangan asli 0 dan 1 adalah elemen yang idempoten terhadap perkalian (karena 0 × 0 = 0 dan 1 × 1 = 1). Karena tidak ada bilangan asli lainnya yang memenuhi sifat ini (misalnya tidak berlaku bahwa 2 × 2 = 2), operasi perkalian pada bilangan asli bukanlah operasi yang idempoten. Secara formal, elemen idempoten dalam monoid ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$ hanyalah 0 dan 1.
• Pada magma ${\displaystyle (M,\,\cdot )}$, elemen identitas ${\displaystyle e}$ atau absorbing element ${\displaystyle a}$, jika elemen tersebut ada, akan bersifat idempoten karena ${\displaystyle e\cdot e=e}$ dan ${\displaystyle a\cdot a=a.}$
• Pada grup ${\displaystyle (G,\,\cdot )}$, elemen identitas ${\displaystyle e}$ adalah satu-satunya elemen idempoten. Hal ini terlihat karena untuk sembarang elemen ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle G}$ yang memenuhi ${\displaystyle x\cdot x=x}$, juga akan memenuhi ${\displaystyle x\cdot x=x\cdot e}$. Selanjutnya mengalikan kedua ruas dari kiri dengan elemen invers dari ${\displaystyle x}$ akan menghasilkan ${\displaystyle x=e.}$
• Pada monoid ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(E),\,\cup )}$ dan ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(E),\,\cap )}$ dari himpunan kuasa ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ himpunan ${\displaystyle E}$, yang masing-masing dilengkapi dengan operator gabungan ${\displaystyle \cup }$ dan operator irisan ${\displaystyle \cap }$, semua elemennya bersifat idempoten karena ${\displaystyle x\cup u=x}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in {\mathcal {P}}(E)}$ dan ${\displaystyle x\cap x=x}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in {\mathcal {P}}(E)}$. Oleh karena itu, ${\displaystyle \cup }$ dan ${\displaystyle \cap }$ adalah operasi yang idempoten pada ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$.
• Semua elemen pada monoid ${\displaystyle (\{0,1\},\,\vee )}$ dan ${\displaystyle (\{0,1\},\,\wedge )}$, dari domain Boole yang dilengkapi dengan logika disjungsi ∨ dan logika konjungsi ∧, bersifat idempoten. Akibatnya, kedua operator logika tersebut idempoten pada himpunan ${\displaystyle \{0,\,1\}}$.
• Dalam gelanggang Boole, operator perkalian bersifat idempoten.
• Dalam semi-gelanggang tropikal, operator penjumlahan bersifat idempoten.

Arti dalam ilmu komputer

Dalam ilmu komputer, istilah idempoten dapat memiliki arti yang berbeda tergantung pada konteks penerapannya:

• dalam pemrograman imperatif, sebuah subrutin dengan efek samping (side effect) dikatakan idempoten jika status sistem tetap sama beberapapun banyak panggilan dilakukan. Secara matematika, subrutin idempoten ini adalah sebuah fungsi dari ruang system state ke dirinya sendiri yang memenuhi definisi pada pembahasan bagian di atas.
• dalam pemrograman fungsional, pure function bersifat idempoten jika dia idempoten dalam pengertian matematika yang diberikan dalam bagian definisi.

Idempoten adalah sifat yang sangat berguna dalam banyak situasi, karena operasi dengan sifat ini dapat diulangi atau dicoba ulang sesering yang diperlukan tanpa menimbulkan efek yang tidak diinginkan. Pada operasi yang tidak idempoten, algoritme mungkin perlu melacak apakah operasi sudah dilakukan atau belum.

Contoh aplikasi

Contoh terapan yang dapat ditemui banyak orang dalam kehidupan sehari-hari mereka termasuk tombol pada lift dan tombol penyeberangan.^[12] Aktivasi tombol pertama kali akan mengubah sistem ke status meminta, sampai hingga permintaan dipenuhi. Aktivasi secara berulang tombol di antara waktu aktivasi awal dan waktu permintaan dipenuhi tidak memiliki pengaruh, kecuali sistem dirancang untuk dapat menyesuaikan waktu memenuhi permintaan berdasarkan jumlah aktivasi yang dilakukan.

Referensi

1. ↑ Polcino & Sehgal (2002), p. 127.
2. ↑ Valenza, Robert (2012). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Berlin: Springer Science & Business Media. hlm. 22. ISBN 9781461209010. An element s of a magma such that ss = s is called idempotent.
3. ↑ Doneddu, Alfred (1976). Polynômes et algèbre linéaire (dalam bahasa Prancis). Paris: Vuibert. hlm. 180. Soit M un magma, noté multiplicativement. On nomme idempotent de M tout élément a de M tel que a² = a.
4. ↑ George Grätzer (2003). General Lattice Theory. Basel: Birkhäuser. Here: Sect.1.2, p.5.
5. ↑ Garrett Birkhoff (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Providence: Am. Math. Soc.. Here: Sect.I.5, p.8.
6. ↑ Ini adalah persamaan antar fungsi. Dua fungsi dikatakan sama jika mereka memiliki domain dan citra yang sama, dan nilai fungsi mereka sama untuk semua elemen di domain.
7. ↑ Notasi yang lebih umum adalah ${\displaystyle |x|}$, tetapi lebih sulit dibaca untuk ekpresi yang bertingkat.
8. ↑ Faktanya, persamaan ini berlaku untuk semua bilangan rasional, real, bahkan juga kompleks.
9. ↑ If f and g commute, i.e. if f ∘ g = g ∘ f, then idempotency of both f and g implies that of f ∘ g, since (f ∘ g) ∘ (f ∘ g) = (f ∘ f) ∘ (g ∘ g) = f ∘ g, using the associativity of composition.
10. ↑ Sebagai contoh, f(g(7)) = f(7) = 1, tetapi f(g(1)) = f(5) = 2 ≠ 1
11. ↑ juga menunjukkan sifat komutatif f dan g bukan sebuah syarat perlu agar sifat idempoten tetap berlaku.
12. ↑ https://web.archive.org/web/20110523081716/http://www.nclabor.com/elevator/geartrac.pdf For example, this design specification includes detailed algorithm for when elevator cars will respond to subsequent calls for service

Daftar pustaka

• “ Idempoten ” di FOLDOC
• Goodearl, K. R. (1991), von Neumann regular rings (Edisi 2), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., hlm. xviii+412, ISBN 978-0-89464-632-4, MR 1150975
• Gunawardena, Jeremy (1998), "An introduction to idempotency" (PDF), dalam Gunawardena, Jeremy (ed.), Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 1–49, Zbl 0898.16032
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Idempotent", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004), Algebras, rings and modules. vol. 1, Mathematics and its Applications, vol. 575, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, hlm. xii+380, ISBN 978-1-4020-2690-4, MR 2106764
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (Edisi 2), New York: Springer-Verlag, hlm. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95183-6, MR 1838439
• hal. 443
• Peirce, Benjamin. Aljabar Asosiatif Linier 1870.
• Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. (2002), An introduction to group rings, Algebras and Applications, vol. 1, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, hlm. xii+371, doi:10.1007/978-94-010-0405-3, ISBN 978-1-4020-0238-0, MR 1896125