Dalam teori probabilitas, hukum logaritma berulang menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah pergerakan acak. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924.^[1] Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh AN Kolmogorov pada tahun 1929.^[2]

Pernyataan

Misalkan {Y_n} adalah variabel acak yang saling bebas dan terdistribusi identik, dengan nilai harapan nol dan varians satu. Misalkan S_n = Y₁ + ... + Y_n. Maka

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {2n\log \log n}}}=1\quad {\text{a.s.}},}$

Di sini, "log" adalah logaritma natural, "lim sup" menyatakan limit superior, dan "a.s." berarti "hampir pasti" (almost surely).^[3][4]

Pernyataan lain yang diberikan oleh A. N. Kolmogorov pada 1929^[2] sebagai berikut.

Misalkan ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: ${\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}}$ dan ${\displaystyle B_{n}=\operatorname {Var} (Y_{1})+\dots +\operatorname {Var} (Y_{n})}$. Jika ${\displaystyle B_{n}\to \infty }$ dan terdapat suatu barisan konstanta positif ${\displaystyle \{M_{n}\}}$ sedemikian sehingga: ${\displaystyle |Y_{n}|\leq M_{n}}$ a.s. dan

${\displaystyle M_{n}\;=\;o\left({\sqrt {\frac {B_{n}}{\log \log B_{n}}}}\right),}$

maka berlaku:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {2B_{n}\log \log B_{n}}}}=1\quad {\text{a.s.}}}$

Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus distribusi normal standar, tetapi pernyataan kedua tidak.

Referensi