Persamaan standar

Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:

fokus adalah poinnya

${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$,

simpulnya adalah ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$.

Untuk titik arbitrer ${\displaystyle (x,y)}$ jarak ke fokus ${\displaystyle (c,0)}$ adalah ${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ dan ke fokus lainnya ${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$. Karena itu intinya ${\displaystyle (x,\,y)}$ is on the ellipse whenever:

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$

Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ menghasilkan persamaan standar elips:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

atau, memecahkan y:

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$

Keliling lebar dan tinggi ${\displaystyle a,\;b}$ disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah ${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

Keliling

Keanehan

Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}$,

Garis singgung

Garis arbitrer ${\displaystyle g}$ memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ dari elips ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ memiliki persamaan koordinat:

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}\;\!-y_{1}a^{2}\\\;\ \ \ x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}\ }$ with ${\displaystyle \ s\in \mathbb {R} \ .}$

Bukti: Biarkan ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ be a point on an ellipse and ${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ menjadi persamaan garis apa pun ${\displaystyle g}$ mengandung ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$. Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati ${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$ yields:

${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$

Elips bergeser

Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$, persamaannya adalah

${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.