1. FC Nürnberg
Pada tahun 2019, ia bergabung dengan klub Franconia, 1. FC Nürnberg, di mana ia mulai bermain untuk tim U-17, di Bundesliga U-17 sejak musim 2020–21. Musim tersebut, yang dipersingkat setelah lima pertandingan akibat pandemi COVID-19, Uzun mencetak lima gol. Musim berikutnya, ia mencetak 22 gol dalam 19 pertandingan, menjadikannya pencetak gol terbanyak kedua di divisi Selatan/Barat Daya setelah Maurice Krattenmacher dari Unterhaching.
Musim 2022-23
Hasilnya, sang penyerang menandatangani kontrak profesional pertamanya dengan klub pada Februari 2022.[4] Pada musim 2022-23, Uzun naik ke tim U-19 dan langsung menjadi pemain inti. Ia mencetak 15 gol dalam 15 pertandingan di Bundesliga U-19, menjadikannya pencetak gol terbanyak di divisi Selatan/Barat Daya.
Setelah menyelesaikan musim mudanya, Uzun menjalani debut sepak bola seniornya. Pada 10 April 2023, ia memulai debutnya untuk tim cadangan 1. FC Nürnberg di Regionalliga Bayern, saat kalah 3-4 dari 1. FC Schweinfurt 05, dan mencetak gol penyeimbang yang mengubah skor menjadi 3-3, hanya dua menit setelah digantikan oleh Tim Handwerker.[5]
Uzun tampil dalam tiga pertandingan Regionalliga berikutnya. Berkat penampilannya yang impresif, ia dipanggil ke skuad senior 1. FC Nürnberg oleh pelatih sementara, Dieter Hecking, untuk pertandingan ke-32. Ia menjalani debutnya di Bundesliga 2 dalam hasil imbang 2-2 melawan 1. FC Magdeburg, masuk sebagai pemain pengganti di menit-menit akhir.[6] Ia juga sempat tampil singkat sebagai pemain pengganti, dan, pada pertandingan terakhir, dalam kemenangan 1-0 atas SC Paderborn 07, ia dimasukkan ke dalam susunan pemain inti.[7]
Musim 2023-24
Untuk Bundesliga 2 musim 2023-24, Uzun, bersama dua pemain A-Junior lainnya, Nicolas Ortegel dan Finn Jeltsch, dipromosikan secara permanen ke tim utama, yang kini dilatih oleh Cristian Fiél. Sebelum musim dimulai, para penyerang, Kwadwo Duah, Erik Shuranov, Paul-Philipp Besong, Pascal Köpke, dan Jermain Nischalke telah meninggalkan klub. Uzun menyelamatkan timnya di pertandingan kandang pertama musim ini, dengan dua gol, mengamankan satu poin melawan Hannover 96. Pada usia 17 tahun 268 hari, Uzun menjadi pencetak gol profesional termuda FCN, melampaui Christian Wück (18 tahun 62 hari).[8]
Hanya enam hari kemudian, Uzun mencetak rekor usia lainnya, kali ini di DFB-Pokal. Ia menyumbang tiga gol dan dua assist dalam kemenangan 9-1 atas FC Oberneuland, menjadikannya pemain termuda yang mencetak hat-trick di kompetisi tersebut, sekaligus memecahkan rekor Olaf Thon.[9] Pada pertengahan September 2023, Uzun mencetak gol penalti dalam derbi Franconian pertamanya, yang berakhir imbang 1-1 melawan SpVgg Greuther Fürth.
Eintracht Frankfurt
Musim 2024-25
Pada 2 Juli 2024, ia menandatangani kontrak berdurasi 5 tahun dengan Eintracht Frankfurt.[10]
Pada 24 Agustus 2024, ia menjalani debutnya di Bundesliga melawan Borussia Dortmund dan, pada 2 November 2024, ia mencetak gol pertamanya bersama tim melawan Bochum. Ia kemudian tampil sebanyak 20 kali dan menjadi starter dalam enam pertandingan di Bundesliga, selama musim debutnya di Hessen, saat Frankfurt finis di posisi ke-3 Bundesliga, hasil terbaik mereka dalam satu dekade terakhir, dan lolos ke Liga Champions untuk musim 2025-26.
Musim 2025-26
Uzun masuk dalam susunan pemain inti untuk Eröffnungsspiel Frankfurt, melawan tim utara, Werder Bremen, pada tanggal 23 Agustus, bermain di posisi #10, dan menjalani debut yang gemilang, mencetak gol pertama Frankfurt dan memberikan assist untuk gol pertama dari dua gol yang dicetak oleh pemain sayap, Jean-Mattéo Bahoya, saat Frankfurt meraih kemenangan telak 4-1 di awal musim.[11]
