ENSIKLOPEDIA

Kembali ke Ensiklopedia Arsip Wikipedia Indonesia

Bukti bahwa π irasional

$π$
Bagian dari serial artikel mengenai
Artikel mengenai $π$
$3.141\,529\,653\,587\,893\,238\,462\,\dots$
Penggunaan Luas lingkaran Keliling lingkaran
Sifat Irasional Transenden
Nilai Kurang dari 22/7 Perkiraan Mengingat π
Tokoh Archimedes Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Ludolph van Ceulen Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Chudnovsky bersaudara Yasumasa Kanada
Sejarah Kronologi Buku
Budaya Hari Pi
Topik terkait Mengotakkan lingkaran Masalah Basel 6 buah angka "9" pada π Artikel lainnya
Portal Matematika
l b s

Pada tahun 1760, Johann Heinrich Lambert adalah orang pertama yang membuktikan bahwa bilangan $\pi$ tidak rasional, yang berarti $\pi$ tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat. Pada abad ke-19, Charles Hermite menemukan bukti yang tidak membutuhkan pemahaman melampaui kalkulus dasar. Tiga penyederhanaan dari bukti Hermite diberikan oleh Mary Cartwright, Ivan M. Niven, dan Nicolas Bourbaki. Bukti lain, yang merupakan penyederhanaan dari bukti Lambert, diberikan oleh Miklós Laczkovich. Banyak dari bukti-bukti ini merupakan pembuktian melalui kontradiksi.

Pada tahun 1882, Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa $\pi$ tidak hanya irasional, namun juga transenden.^[1]

Bukti Lambert

Hasil pemindaian rumus pada halaman 288 dari "Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques" karya Lambert, Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin (1768), 265–322

Pada 1761, Johann Heinrich Lambert membuktikan bahwa $\pi$ merupakan bilangan irasional dengan menunjukkan bahwa berlakunya penjabaran pecahan berlanjut berikut: $\tan \!\left(x\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}$ kemudian Lambert membuktikan bahwa jika $x$ merupakan bilangan rasional selain nol, maka ekspresi di atas haruslah irasional. Oleh karena $\tan \!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=1$ , maka ${\tfrac {\pi }{4}}$ merupakan bilangan irasional, sehingga $\pi$ juga irasional.^[2]

Bukti Niven

Pembuktian ini menggunakan karakterisasi dari $\pi$ sebagai pembuat nol dari fungsi sinus.^[3]

Andaikan $\pi$ merupakan bilangan rasional, atau dengan kata lain, $\pi ={\tfrac {a}{b}}$ , untuk suatu bilangan bulat $a$ dan $b$ , yang kedua-duanya dapat diasumsikan tanpa mengurangi keumuman sebagai bilangan positif. Diberikan suatu bilangan asli $n$ , maka untuk setiap bilangan riil $x$ , didefinisikan ${\begin{aligned}f(x)&:={\dfrac {x^{n}\left(a-bx\right)^{n}}{n!}}\\F(x)&:=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{6}f}{{\text{d}}x^{6}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)\end{aligned}}$

Klaim 1

Pertama, akan dibuktikan bahwa $\int _{0}^{\pi }f\!\left(x\right)\cdot \sin \!\left(x\right)\,{\text{d}}x=F\!\left(0\right)+F\!\left(\pi \right)$ Perhatikan bahwa ${\dfrac {{\text{d}}^{2n+2}f}{{\text{d}}x^{2n+2}}}\!\left(x\right)=0$ . Akibatnya, berlaku $F(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)=f(x)$

Penjelasan
Berdasarkan definisi dari fungsi $F(x)$ , maka ${\begin{aligned}F(x)&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{6}f}{{\text{d}}x^{6}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{6}f}{{\text{d}}x^{6}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)+\left(-1\right)^{n+1}\cdot 0\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{6}f}{{\text{d}}x^{6}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)+\left(-1\right)^{n+1}{\dfrac {{\text{d}}^{2n+2}f}{{\text{d}}x^{2n+2}}}(x)\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}}{{\text{d}}x^{2}}}\left(f(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n-1}{\dfrac {{\text{d}}^{2n-2}f}{{\text{d}}x^{2n-2}}}(x)+\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)\right)\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\\F(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)&=f(x)\end{aligned}}$

Penjelasan

Berdasarkan definisi dari fungsi $F(x)$ , maka ${\begin{aligned}F(x)&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{6}f}{{\text{d}}x^{6}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{6}f}{{\text{d}}x^{6}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)+\left(-1\right)^{n+1}\cdot 0\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{6}f}{{\text{d}}x^{6}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)+\left(-1\right)^{n+1}{\dfrac {{\text{d}}^{2n+2}f}{{\text{d}}x^{2n+2}}}(x)\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}}{{\text{d}}x^{2}}}\left(f(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{4}f}{{\text{d}}x^{4}}}(x)+\ldots +\left(-1\right)^{n-1}{\dfrac {{\text{d}}^{2n-2}f}{{\text{d}}x^{2n-2}}}(x)+\left(-1\right)^{n}{\dfrac {{\text{d}}^{2n}f}{{\text{d}}x^{2n}}}(x)\right)\\&=f(x)-{\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\\F(x)+{\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)&=f(x)\end{aligned}}$

Oleh karena turunan dari fungsi $\sin \!\left(x\right)$ ialah $\cos \!\left(x\right)$ dan turunan dari $\cos \!\left(x\right)$ adalah $-\sin \!\left(x\right)$ , maka dengan menggunakan aturan perkalian turunan, didapatkan $f(x)\,\sin \!\left(x\right)={\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(\sin \!\left(x\right)\cdot F'(x)-\cos \!\left(x\right)\cdot F(x)\right)$

Penjelasan
Berdasarkan hubungan yang telah diperoleh sebelumnya, maka ${\begin{aligned}f(x)&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+F(x)\\f(x)\,\sin \!\left(x\right)&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\,\sin \!\left(x\right)+F(x)\,\sin \!\left(x\right)\\&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\,\sin \!\left(x\right)+{\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)-{\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)-F(x)\left(-\sin \!\left(x\right)\right)\\&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\,\sin \!\left(x\right)+{\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)-\left({\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)+F(x)\left(-\sin \!\left(x\right)\right)\right)\\&={\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\sin \!\left(x\right)\right)-{\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(F(x)\,\cos \!\left(x\right)\right)\\&={\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(\sin \!\left(x\right)\cdot F'(x)-\cos \!\left(x\right)\cdot F(x)\right)\end{aligned}}$

Penjelasan

Berdasarkan hubungan yang telah diperoleh sebelumnya, maka ${\begin{aligned}f(x)&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)+F(x)\\f(x)\,\sin \!\left(x\right)&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\,\sin \!\left(x\right)+F(x)\,\sin \!\left(x\right)\\&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\,\sin \!\left(x\right)+{\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)-{\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)-F(x)\left(-\sin \!\left(x\right)\right)\\&={\dfrac {{\text{d}}^{2}F}{{\text{d}}x^{2}}}(x)\,\sin \!\left(x\right)+{\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)-\left({\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\cos \!\left(x\right)+F(x)\left(-\sin \!\left(x\right)\right)\right)\\&={\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\dfrac {{\text{d}}F}{{\text{d}}x}}(x)\,\sin \!\left(x\right)\right)-{\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(F(x)\,\cos \!\left(x\right)\right)\\&={\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(\sin \!\left(x\right)\cdot F'(x)-\cos \!\left(x\right)\cdot F(x)\right)\end{aligned}}$

sehingga berdasarkan teorema dasar kalkulus, diperoleh $\int _{0}^{\pi }f\!\left(x\right)\,\sin \!\left(x\right)\,{\text{d}}x=F\!\left(\pi \right)+F\!\left(0\right)$

Penjelasan
Dengan menggunakan informasi $\lim _{x\,\to \,0}\sin \!\left(x\right)=0$ $\lim _{x\,\to \,\pi }\sin \!\left(x\right)=0$ $\lim _{x\,\to \,0}\cos \!\left(x\right)=1$ $\lim _{x\,\to \,\pi }\cos \!\left(x\right)=-1$ maka didapatkan ${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }f\!\left(x\right)\cdot \sin \!\left(x\right)\,{\text{d}}x&=\left(\sin \!\left(x\right)\cdot F'(x)-\cos \!\left(x\right)\cdot F(x)\right){\Big \|}_{0}^{\pi }\\&=\left(\sin \!\left(\pi \right)\cdot F'(\pi )-\cos \!\left(\pi \right)\cdot F(\pi )\right)-\left(\sin \!\left(0\right)\cdot F'(0)-\cos \!\left(0\right)\cdot F(0)\right)\\&=0\cdot F'(\pi )-(-1)\cdot F(\pi )-\left(0\cdot F'(0)-1\cdot F(0)\right)\\&=F\!\left(\pi \right)+F\!\left(0\right)\end{aligned}}$

Penjelasan

Dengan menggunakan informasi

$\lim _{x\,\to \,0}\sin \!\left(x\right)=0$
$\lim _{x\,\to \,\pi }\sin \!\left(x\right)=0$
$\lim _{x\,\to \,0}\cos \!\left(x\right)=1$
$\lim _{x\,\to \,\pi }\cos \!\left(x\right)=-1$

maka didapatkan ${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }f\!\left(x\right)\cdot \sin \!\left(x\right)\,{\text{d}}x&=\left(\sin \!\left(x\right)\cdot F'(x)-\cos \!\left(x\right)\cdot F(x)\right){\Big |}_{0}^{\pi }\\&=\left(\sin \!\left(\pi \right)\cdot F'(\pi )-\cos \!\left(\pi \right)\cdot F(\pi )\right)-\left(\sin \!\left(0\right)\cdot F'(0)-\cos \!\left(0\right)\cdot F(0)\right)\\&=0\cdot F'(\pi )-(-1)\cdot F(\pi )-\left(0\cdot F'(0)-1\cdot F(0)\right)\\&=F\!\left(\pi \right)+F\!\left(0\right)\end{aligned}}$

Klaim 2

Kedua, akan dibuktikan bahwa $F\!\left(0\right)$ merupakan bilangan bulat. Dengan menjabarkan $f(x)$ menggunakan teorema binomial, maka $f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{2n}{\dfrac {c_{k}}{n!}}x^{k}$ dengan $c_{k}$ merupakan suatu bilangan bulat dan $c_{k}=0$ jika $k<n$ .

Penjelasan
Berdasarkan definisi dari fungsi $f(x)$ , maka ${\begin{aligned}f(x):&={\dfrac {x^{n}\left(a-bx\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {x^{n}}{n!}}\left({\binom {n}{0}}a^{0}\left(-bx\right)^{n}+{\binom {n}{1}}a^{1}\left(-bx\right)^{n-1}+{\binom {n}{2}}a^{2}\left(-bx\right)^{n-2}+\ldots +{\binom {n}{n}}a^{n}\left(-bx\right)^{0}\right)\\&={\dfrac {x^{n}}{n!}}\left(\left(-b\right)^{n}x^{n}+na\left(-b\right)^{n-1}x^{n-1}+{\dfrac {n(n-1)}{2}}a^{2}\left(-b\right)^{n-2}x^{n-2}+\ldots +a^{n}\right)\\&={\dfrac {\left(-b\right)^{n}}{n!}}x^{2n}+{\dfrac {na\left(-b\right)^{n-1}}{n!}}x^{2n-1}+{\dfrac {{\tfrac {1}{2}}n(n-1)a^{2}\left(-b\right)^{n-2}}{n!}}x^{2n-2}+\ldots +{\dfrac {a^{n}}{n!}}x^{n}\\f(x)&=\sum _{k\,=\,0}^{2n}{\dfrac {c_{k}}{n!}}x^{k}\end{aligned}}$

Penjelasan

Berdasarkan definisi dari fungsi $f(x)$ , maka ${\begin{aligned}f(x):&={\dfrac {x^{n}\left(a-bx\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {x^{n}}{n!}}\left({\binom {n}{0}}a^{0}\left(-bx\right)^{n}+{\binom {n}{1}}a^{1}\left(-bx\right)^{n-1}+{\binom {n}{2}}a^{2}\left(-bx\right)^{n-2}+\ldots +{\binom {n}{n}}a^{n}\left(-bx\right)^{0}\right)\\&={\dfrac {x^{n}}{n!}}\left(\left(-b\right)^{n}x^{n}+na\left(-b\right)^{n-1}x^{n-1}+{\dfrac {n(n-1)}{2}}a^{2}\left(-b\right)^{n-2}x^{n-2}+\ldots +a^{n}\right)\\&={\dfrac {\left(-b\right)^{n}}{n!}}x^{2n}+{\dfrac {na\left(-b\right)^{n-1}}{n!}}x^{2n-1}+{\dfrac {{\tfrac {1}{2}}n(n-1)a^{2}\left(-b\right)^{n-2}}{n!}}x^{2n-2}+\ldots +{\dfrac {a^{n}}{n!}}x^{n}\\f(x)&=\sum _{k\,=\,0}^{2n}{\dfrac {c_{k}}{n!}}x^{k}\end{aligned}}$

Akibatnya, diperoleh ${\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}\left(0\right)={\begin{cases}0&k<n\\{\dfrac {k!}{n!}}\cdot c_{k}&n\leq k\leq 2n\end{cases}}$ Pada kedua kasus di atas, maka dapat disimpulkan bahwa ${\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}\left(0\right)$ merupakan bilangan bulat, untuk setiap $k\in \mathbb {N}$ . Berdasarkan definisi dari fungsi $F$ , maka terbukti bahwa $F\!\left(0\right)$ merupakan bilangan bulat.

Klaim 3

Ketiga, akan dibuktikan bahwa $F\!\left(\pi \right)$ merupakan bilangan bulat. Berdasarkan definisi dari $f(x)$ , maka berlaku $f\!\left(\pi -x\right)=f\!\left(x\right)$

Penjelasan
Berdasarkan definisi dari fungsi $f(x)$ , maka ${\begin{aligned}f\!\left(\pi -x\right)&=f\!\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}\left(a-b\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}\left(a-a+bx\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}\left(bx\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}b^{n}x^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left(a-bx\right)^{n}x^{n}}{n!}}\\&=f\!\left(x\right)\end{aligned}}$

Penjelasan

Berdasarkan definisi dari fungsi $f(x)$ , maka ${\begin{aligned}f\!\left(\pi -x\right)&=f\!\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}\left(a-b\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}\left(a-a+bx\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}\left(bx\right)^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left({\tfrac {a}{b}}-x\right)^{n}b^{n}x^{n}}{n!}}\\&={\dfrac {\left(a-bx\right)^{n}x^{n}}{n!}}\\&=f\!\left(x\right)\end{aligned}}$

Berdasarkan hubungan di atas, maka dengan menggunakan aturan rantai dan induksi matematika, diperoleh $\left(-1\right)^{k}{\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}\left(\pi -x\right)={\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}(x)$ untuk setiap $k\in \mathbb {N}$ . Dengan memilih $x=0$ , maka didapatkan $\left(-1\right)^{k}{\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}\left(\pi \right)={\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}\left(0\right)$ .

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa untuk setiap $k\in \mathbb {N}$ , maka ${\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}\left(0\right)$ merupakan bilangan bulat, sehingga ${\dfrac {{\text{d}}^{k}f}{{\text{d}}x^{k}}}\left(\pi \right)$ juga merupakan bilangan bulat. Berdasarkan definisi dari fungsi $F$ , maka terbukti bahwa $F\!\left(\pi \right)$ merupakan bilangan bulat.

Klaim 4

Perhatikan bahwa untuk $0<x<\pi$ , maka berlaku

$0<a-bx<a$ (sebab diasumsikan bahwa $\pi ={\tfrac {a}{b}}$ serta $b>0$ )
$\sin \!\left(x\right)>0$
$f(x)>0$

sehingga berdasarkan klaim 1, klaim 2, dan klaim 3, maka $F\!\left(\pi \right)+F\!\left(0\right)$ merupakan bilangan bulat positif.

Klaim 5

Oleh karena

$0<x(a-bx)<a\pi$
$\sin \!\left(x\right)\leq 1$

maka berdasarkan definisi dari fungsi $f(x)$ , didapatkan ${\begin{aligned}F\!\left(\pi \right)+F\!\left(0\right)&=\int _{0}^{\pi }f(x)\,\sin \!\left(x\right)\,{\text{d}}x\\&=\int _{0}^{\pi }{\dfrac {x^{n}\left(a-bx\right)^{n}}{n!}}\,\sin \!\left(x\right)\,{\text{d}}x\\&\leq \int _{0}^{\pi }{\dfrac {\left(a\pi \right)^{n}}{n!}}\cdot 1\,{\text{d}}x={\dfrac {\left(a\pi \right)^{n}}{n!}}\pi \end{aligned}}$ yang bernilai kurang dari $1$ apabila $n$ cukup besar. Akan tetapi, hal ini bersifat kontradiktif dengan klaim 4, sebab tidak ada bilangan bulat antara $0$ dan $1$ . Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya $\pi$ merupakan bilangan rasional) tidaklah benar, sehingga terbukti bahwa $\pi$ merupakan bilangan irasional.

Lihat juga

Referensi

↑ Lindemann, Ferdinand von (2004) [1882], "Ueber die Zahl $π$ ", dalam Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (ed.), Pi, a source book (Edisi 3), New York: Springer-Verlag, hlm. 194–225, ISBN 0-387-20571-3.
↑ Lambert, Johann Heinrich (2004) [1768], "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", dalam Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (ed.), Pi, a source book (Edisi 3), New York: Springer-Verlag, hlm. 129–140, ISBN 0-387-20571-3.
↑ Niven, Ivan (1947), "A simple proof that $π$ is irrational" [Bukti sederhana bahwa $π$ irasional] (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society (dalam bahasa Inggris), vol. 53, no. 6, hlm. 509, doi:10.1090/s0002-9904-1947-08821-2