Himpunan kosong ${\displaystyle \varnothing }$ merupakan himpunan terbuka, berdasarkan definisi.

Himpunan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ merupakan himpunan terbuka, sebab ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dapat dinyatakan sebagai ${\displaystyle 1\mathbb {Z} -271}$.

Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Misalkan $${\displaystyle K=\left\{H_{1},\,H_{2},\,\ldots ,\,H_{n}\right\}}$$ adalah koleksi dari sembarang ${\displaystyle n}$ himpunan terbuka. Didefinisikan himpunan $${\displaystyle H=\bigcap _{i\,=\,1}^{n}H_{i}}$$ Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi:

1. Jika setiap pasangan himpunan pada ${\displaystyle K}$ bersifat saling lepas—yaitu ${\displaystyle H_{i}\cap H_{j}=\varnothing }$ jika ${\displaystyle i\neq j}$—maka ${\displaystyle H=\varnothing }$. Akibatnya, terbukti bahwa irisan dari sembarang ${\displaystyle n}$ himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.
2. Jika ${\displaystyle H\neq \varnothing }$, maka terdapat suatu elemen ${\displaystyle x\in H}$. Akibatnya, berlaku ${\displaystyle x\in H_{i}}$ untuk setiap ${\displaystyle H_{i}\in K}$. Diketahui bahwa ${\displaystyle H_{i}}$ adalah himpunan terbuka untuk setiap ${\displaystyle i\in \left\{1,\,2,\,\ldots ,\,n\right\}}$, maka terdapat ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H_{i}}$. Dengan memilih ${\displaystyle a=\operatorname {KPK} (a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n})}$, maka berlaku ${\displaystyle a\mathbb {Z} +x\subseteq a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H_{i}\subseteq H}$ untuk setiap ${\displaystyle i\in \left\{1,\,2,\,\ldots ,\,n\right\}}$. Dengan kata lain, terdapat ${\displaystyle a=\operatorname {KPK} (a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n})}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle a\mathbb {Z} +x\subseteq H}$, yang menunjukkan bahwa ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan terbuka. Alhasil, terbukti bahwa irisan dari sembarang ${\displaystyle n}$ himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.

Misalkan $${\displaystyle K=\left\{H_{i}\mid i\in I\right\}}$$ adalah koleksi dari sembarang himpunan terbuka dengan himpunan indeks ${\displaystyle I}$. Didefinisikan himpunan $${\displaystyle H=\bigcup _{i\,\in \,I}H_{i}}$$ Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi:

1. Jika ${\displaystyle H=\varnothing }$, maka terbukti bahwa sembarang gabungan dari suatu koleksi himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.
2. Jika ${\displaystyle H\neq \varnothing }$, maka terdapat suatu elemen ${\displaystyle x\in H}$. Diketahui bahwa ${\displaystyle H_{i}}$ adalah himpunan terbuka untuk setiap ${\displaystyle i\in I}$, maka terdapat ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H_{i}}$. Oleh karena setiap ${\displaystyle H_{i}\subseteq H}$, maka ${\displaystyle a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H}$. Akibatnya, ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan terbuka. Dengan kata lain, terbukti bahwa sembarang gabungan dari suatu koleksi himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.