Variabel

• ${\displaystyle T}$ = total biaya persediaan tahunan
• ${\displaystyle P}$ = harga beli per unit, biaya produksi per unit
• ${\displaystyle Q}$ = jumlah pesanan
• ${\displaystyle Q^{*}}$ = jumlah pesanan optimal
• ${\displaystyle D}$ = jumlah permintaan tahunan
• ${\displaystyle K}$ = biaya tetap per pesanan, biaya penyiapan (bukan per unit, biasanya biaya pemesanan, pengiriman, dan penanganan. Ini bukan biaya barang)
• ${\displaystyle h}$ = biaya penyimpanan tahunan per unit, juga dikenal sebagai biaya penyimpanan (biaya modal, ruang gudang, pendinginan, asuransi, biaya peluang (harga x bunga), dll.; biasanya tidak terkait dengan biaya produksi per unit)

Fungsi biaya total dan turunan rumus EOQ

Rumus EOQ satu item menemukan titik minimum dari fungsi biaya berikut:

Biaya Total = biaya pembelian atau biaya produksi + biaya pemesanan + penyimpanan biaya

Di mana:

• Biaya pembelian, Ini adalah biaya variabel barang: harga satuan pembelian × jumlah permintaan tahunan. Ini adalah ${\displaystyle P\times D}$.
• Biaya pemesanan: Ini adalah biaya pemesanan: setiap pesanan memiliki biaya tetap ${\displaystyle K}$, dan kita perlu memesan ${\displaystyle D/Q}$ kali per tahun. Ini adalah ${\displaystyle KD/Q}$
• Biaya penyimpanan: rata-rata jumlah stok (antara terisi penuh dan kosong) adalah ${\displaystyle Q/2}$, jadi biaya ini adalah ${\displaystyle hQ/2}$

${\displaystyle T=PD+K{\frac {D}{Q}}+h{\frac {Q}{2}}}$.

Untuk menentukan titik minimum kurva biaya total, hitung turunan biaya total terhadap Q (asumsikan semua variabel lain konstan) dan tetapkan sama dengan 0:

${\displaystyle {0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}}$

Menentukan nilai Q akan menghasilkan Q* (jumlah pesanan optimal):

${\displaystyle Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}}$

Oleh karena itu:

Besaran pesanan ekonomis ${\displaystyle Q^{*}={\sqrt {\frac {2DK}{h}}}}$

Q* tidak bergantung pada P; ia merupakan fungsi dari hanya K, D, h.

Nilai optimal Q* juga dapat ditemukan dengan mengetahui bahwa

${\displaystyle T={\frac {DK}{Q}}+{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+PD,}$

di mana suku kuadrat non-negatif menghilang untuk ${\textstyle Q={\sqrt {2DK/h}},}$ yang menghasilkan biaya minimum ${\displaystyle T_{min}={\sqrt {2hDK}}+PD.}$

Contoh

• Kuantitas kebutuhan tahunan (D) = 10.000 unit
• Biaya per pesanan (K) = 40
• Biaya per unit (P) = 50
• Biaya penyimpanan tahunan per unit = 4
• Minat pasar = 2%

Besaran pesanan ekonomis = ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}}$ = 400 unit

Jumlah pesanan per tahun (berdasarkan EOQ) ${\displaystyle ={\frac {10000}{400}}=25}$

Total biaya ${\displaystyle =P\cdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)}$

Total biaya ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/400)+5\cdot (400/2)=502000}$

Jika kita memeriksa total biaya untuk jumlah pesanan selain 400 (=EOQ), kita akan melihat bahwa biayanya lebih tinggi. Contoh: misalkan 500 unit per pesanan, maka

Total biaya ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/500)+5\cdot (500/2)=502050}$

Demikian pula, jika kita memilih 300 untuk jumlah pesanan, maka

Total biaya ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.33}$

Hal ini menggambarkan bahwa jumlah pesanan ekonomis selalu menjadi kepentingan terbaik perusahaan.

Diskon Kuantitas

Perluasan penting dari model EOQ adalah mengakomodasi diskon kuantitas. Ada dua jenis utama diskon kuantitas: (1) semua unit dan (2) inkremental.^[2][3] Berikut adalah contoh numerik:

• Diskon unit inkremental: Unit 1–100 berharga $30 per unit; Unit 101–199 berharga $28 per unit; Unit 200 ke atas berharga $26 per unit. Jadi, ketika 150 unit dipesan, total biayanya adalah $30 x 100 + $28 x 50.
• Diskon semua unit: pesanan 1–1000 unit berharga $50 per unit; pesanan 1001–5000 unit berharga $45 per unit; pesanan lebih dari 5000 unit berharga $40 per unit. Jadi, ketika 1500 unit dipesan, total biayanya adalah $45 x 1500.

Untuk menemukan kuantitas pesanan optimal dengan berbagai skema diskon kuantitas, seseorang harus menggunakan algoritma; algoritma ini dikembangkan dengan asumsi bahwa kebijakan EOQ masih optimal dengan diskon kuantitas. Perera dkk. (2017)^[4] menetapkan optimalitas ini dan mengkarakterisasi optimalitas (s,S) secara lengkap dalam pengaturan EOQ dengan struktur biaya umum.

Perancangan Jadwal Diskon Kuantitas Optimal

Dengan adanya pelanggan strategis yang merespons jadwal diskon secara optimal, perancangan skema diskon kuantitas optimal oleh pemasok menjadi rumit dan harus dilakukan dengan hati-hati. Hal ini terutama terjadi ketika permintaan dari pelanggan itu sendiri tidak pasti. Efek menarik yang disebut reverse bullwhip terjadi ketika peningkatan ketidakpastian permintaan konsumen justru mengurangi ketidakpastian kuantitas pesanan dari pemasok.^[5]

Biaya pemesanan kembali dan beberapa barang

Beberapa perluasan dapat dilakukan pada model EOQ, termasuk biaya pemesanan kembali^[4] dan beberapa barang. Jika pemesanan kembali diizinkan, biaya penyimpanan persediaan per siklus adalah:^[6]

${\displaystyle IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Q-s-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}(Q-s)^{2},}$

di mana s adalah jumlah pemesanan kembali ketika jumlah pesanan Q dikirimkan dan ${\displaystyle \lambda }$ adalah tingkat permintaan. Biaya pemesanan kembali per siklus adalah:

${\displaystyle \pi s+{\hat {\pi }}\int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}\lambda T_{2}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat {\pi }}s^{2}}{2\lambda }},}$

di mana ${\displaystyle \pi }$ dan ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ adalah biaya pemesanan kembali, ${\displaystyle T_{2}=T-T_{1}}$, T adalah panjang siklus dan ${\displaystyle T_{1}=(Q-s)/\lambda }$. Biaya variabel tahunan rata-rata adalah jumlah biaya pemesanan, biaya penyimpanan persediaan, dan biaya pemesanan kembali:

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {\lambda }{Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Q-s)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}]}$

Untuk meminimalkan ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, terapkan turunan parsial sama dengan nol:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Q-s)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{\hat {\pi }}s=0}$

Substitusi persamaan kedua ke persamaan pertama menghasilkan persamaan kuadrat berikut:

${\displaystyle [{\hat {\pi }}^{2}+{\hat {\pi }}IC]s^{2}+2\pi {\hat {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0}$

Jika ${\displaystyle {\hat {\pi }}=0}$, baik s=0 atau ${\displaystyle s=\infty }$ adalah optimal. Dalam kasus pertama, lot optimal diberikan oleh rumus EOQ klasik, dalam kasus kedua, pesanan tidak pernah dilakukan dan biaya tahunan minimum diberikan oleh ${\displaystyle \pi \lambda }$. Jika ${\displaystyle \pi >{\sqrt {\frac {2AIC}{\lambda }}}=\delta }$ atau ${\displaystyle \pi \lambda >K_{w}}$ ${\displaystyle s^{*}=0}$ adalah optimal, jika ${\displaystyle \pi <\delta }$, maka seharusnya tidak ada sistem inventaris. Jika ${\displaystyle {\hat {\pi }}\neq 0}$ menyelesaikan persamaan kuadrat sebelumnya menghasilkan:

${\displaystyle s^{*}=[{\hat {\pi }}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi }}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi }}}(\pi \lambda )^{2}\right]^{1/2}\right)}$

${\displaystyle Q^{*}=\left[{\frac {{\hat {\pi }}+IC}{\hat {\pi }}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A}{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi }}+IC)}}\right]^{1/2}}$

Jika terdapat pemesanan di awal, titik pemesanan ulang adalah: ${\displaystyle r_{h}^{*}=\mu -mQ^{*}-s^{*}}$; dengan m adalah bilangan bulat terbesar ${\displaystyle m\leq {\frac {\tau }{T}}}$ dan μ adalah waktu tunggu permintaan.

Selain itu, interval pesanan ekonomi^[7] dapat ditentukan dari EOQ dan model kuantitas produksi ekonomi (yang menentukan kuantitas produksi optimal) dapat ditentukan dengan cara yang serupa.

Versi model ini, model Baumol-Tobin, juga telah digunakan untuk menentukan fungsi permintaan uang, di mana kepemilikan saldo uang seseorang dapat dilihat secara paralel dengan kepemilikan inventaris perusahaan.^[8]

Malakoti (2013)^[9] telah memperkenalkan model EOQ multi-kriteria di mana kriterianya dapat berupa meminimalkan total biaya, kuantitas pesanan (inventaris), dan kekurangan.

Versi yang memperhitungkan nilai waktu uang dikembangkan oleh Trippi dan Lewin.^[10]

Kualitas tidak sempurna

Perluasan penting lainnya dari model EOQ adalah mempertimbangkan item dengan kualitas tidak sempurna. Salameh dan Jaber (2000) adalah orang pertama yang mempelajari barang-barang tidak sempurna dalam model EOQ secara mendalam. Mereka mempertimbangkan masalah persediaan di mana permintaan bersifat deterministik dan terdapat sebagian kecil barang tidak sempurna dalam lot, yang disaring oleh pembeli dan dijual oleh mereka di akhir siklus dengan harga diskon.^[11]