Dalam statistika, analisis varians satu arah (atau ANOVA satu arah) adalah teknik untuk membandingkan apakah rata-rata dua atau lebih sampel berbeda secara signifikan (menggunakan distribusi F). Teknik analisis varians ini membutuhkan variabel respons numerik "Y" dan satu variabel penjelas "X", oleh karena itu disebut "satu arah".^[1]

ANOVA menguji hipotesis nol, yang menyatakan bahwa sampel di semua kelompok diambil dari populasi dengan nilai rata-rata yang sama. Untuk melakukan ini, dua estimasi dibuat dari varians populasi. Estimasi ini bergantung pada berbagai asumsi (lihat di bawah). ANOVA menghasilkan statistika F, yaitu rasio varians yang dihitung di antara rata-rata terhadap varians di dalam sampel. Jika rata-rata kelompok diambil dari populasi dengan nilai rata-rata yang sama, varians antara rata-rata kelompok seharusnya lebih rendah daripada varians sampel, sesuai dengan teorema limit pusat. Oleh karena itu, rasio yang lebih tinggi menyiratkan bahwa sampel diambil dari populasi dengan nilai rata-rata yang berbeda.^[1]

Namun, biasanya ANOVA satu arah digunakan untuk menguji perbedaan di antara setidaknya tiga kelompok, karena kasus dua kelompok dapat dicakup oleh uji t (Gosset, 1908). Ketika hanya ada dua rata-rata untuk dibandingkan, uji t dan uji F setara; hubungan antara ANOVA dan t diberikan oleh F = t². Perluasan ANOVA satu arah adalah analisis varians dua arah yang memeriksa pengaruh dua variabel independen kategorikal yang berbeda pada satu variabel dependen.

Asumsi

Hasil ANOVA satu arah dapat dianggap andal selama asumsi berikut terpenuhi:

• Residual variabel respons terdistribusi normal (atau mendekati normal).
• Varians populasi adalah sama.
• Respons untuk kelompok tertentu adalah variabel acak normal yang independen dan terdistribusi secara identik (bukan sampel acak sederhana (SRS)).

Varian utamanya adalah: Jika data bersifat ordinal, alternatif non-parametrik untuk uji ini harus digunakan seperti analisis varians satu arah Kruskal–Wallis. Jika varians tidak diketahui sama, generalisasi uji t Welch 2 sampel dapat digunakan.^[2]

Kasus efek tetap, eksperimen acak penuh, data tidak seimbang

Data dan ringkasan statistik data

Salah satu bentuk pengorganisasian observasi eksperimental ${\displaystyle y_{ij}}$ adalah dengan mengelompokkan data dalam kolom:

Pengorganisasian data ANOVA, Tidak Seimbang, Faktor Tunggal

	Daftar Observasi Kelompok
	${\displaystyle I_{1}}$	${\displaystyle I_{2}}$	${\displaystyle I_{3}}$	${\displaystyle \dotso }$	${\displaystyle I_{j}}$
1	${\displaystyle y_{11}}$	${\displaystyle y_{12}}$	${\displaystyle y_{13}}$		${\displaystyle y_{1j}}$
2	${\displaystyle y_{21}}$	${\displaystyle y_{22}}$	${\displaystyle y_{23}}$		${\displaystyle y_{2j}}$
3	${\displaystyle y_{31}}$	${\displaystyle y_{32}}$	${\displaystyle y_{33}}$		${\displaystyle y_{3j}}$
${\displaystyle \vdots }$					${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle y_{i1}}$	${\displaystyle y_{i2}}$	${\displaystyle y_{i3}}$	${\displaystyle \dotso }$	${\displaystyle y_{ij}}$
	Statistika Ringkasan Kelompok						Statistika Ringkasan Utama
# Diamati	${\displaystyle I_{1}}$	${\displaystyle I_{2}}$	${\displaystyle \dotso }$	${\displaystyle I_{j}}$	${\displaystyle \dotso }$	${\displaystyle I_{J}}$	# Diamati	${\displaystyle I=\sum I_{j}}$
Jumlah				${\displaystyle \sum _{i}y_{ij}}$			Jumlah	${\displaystyle \sum _{j}\sum _{i}y_{ij}}$
Jumlah kuadrat				${\displaystyle \sum _{i}(y_{ij})^{2}}$			Jumlah kuadrat	${\displaystyle \sum _{j}\sum _{i}(y_{ij})^{2}}$
Rata-rata	${\displaystyle m_{1}}$	${\displaystyle \dotso }$		${\displaystyle m_{j}}$	${\displaystyle \dotso }$	${\displaystyle m_{J}}$	Rata-rata	${\displaystyle m}$
Varians	${\displaystyle s_{1}^{2}}$	${\displaystyle \dotso }$		${\displaystyle s_{j}^{2}}$	${\displaystyle \dotso }$	${\displaystyle s_{J}^{2}}$	Varians	${\displaystyle s^{2}}$

Membandingkan model dengan ringkasan: ${\displaystyle \mu =m}$ dan ${\displaystyle \mu _{j}=m_{j}}$. Rata-rata dan varians keseluruhan dihitung dari jumlah keseluruhan, bukan dari rata-rata dan varians kelompok.

Uji hipotesis

Berdasarkan statistika ringkasan, perhitungan uji hipotesis ditampilkan dalam bentuk tabel. Meskipun dua kolom SS ditampilkan untuk nilai penjelasannya, hanya satu kolom yang diperlukan untuk menampilkan hasil.

Tabel ANOVA untuk model tetap, faktor tunggal, percobaan acak

Sumber variasi	Jumlah kuadrat	Jumlah kuadrat	Derajat kebebasan	Kuadrat rata-rata	F
	Penjelasan SS[11]	Komputasional SS[12]	DF	MS
Perlakuan	${\displaystyle \sum _{Perlakuan}I_{j}(m_{j}-m)^{2}}$	${\displaystyle \sum _{j}{\frac {(\sum _{i}y_{ij})^{2}}{I_{j}}}-{\frac {(\sum _{j}\sum _{i}y_{ij})^{2}}{I}}}$	${\displaystyle J-1}$	${\displaystyle {\frac {SS_{Perlakuan}}{DF_{Perlakuan}}}}$	${\displaystyle {\frac {MS_{Perlakuan}}{MS_{Galat}}}}$
Galat	${\displaystyle \sum _{Perlakuan}(I_{j}-1)s_{j}^{2}}$	${\displaystyle \sum _{j}\sum _{i}y_{ij}^{2}-\sum _{j}{\frac {(\sum _{i}y_{ij})^{2}}{I_{j}}}}$	${\displaystyle I-J}$	${\displaystyle {\frac {SS_{Galat}}{DF_{Galat}}}}$
Total	${\displaystyle \sum _{Observasi}(y_{ij}-m)^{2}}$	${\displaystyle \sum _{j}\sum _{i}y_{ij}^{2}-{\frac {(\sum _{j}\sum _{i}y_{ij})^{2}}{I}}}$	${\displaystyle I-1}$

${\displaystyle MS_{Galat}}$ adalah estimasi varians yang sesuai dengan ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ dari model.

Contoh

Pertimbangkan sebuah percobaan untuk mempelajari efek dari tiga tingkat faktor yang berbeda terhadap suatu respons (misalnya tiga tingkat pupuk terhadap pertumbuhan tanaman). Jika kita memiliki 6 pengamatan untuk setiap tingkat, kita dapat menulis hasil percobaan dalam tabel seperti ini, di mana a₁, a₂, dan a₃ adalah tiga tingkat faktor yang sedang dipelajari.

a1	a2	a3
6	8	13
8	12	9
4	9	11
5	11	8
3	6	7
4	8	12

Hipotesis nol, yang dilambangkan dengan H₀, untuk uji F keseluruhan pada percobaan ini adalah bahwa ketiga level faktor tersebut menghasilkan respons yang sama, rata-rata. Untuk menghitung rasio F:

Langkah 1: Hitung rata-rata dalam setiap kelompok:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {Y}}_{1}&={\frac {1}{6}}\sum Y_{1i}={\frac {6+8+4+5+3+4}{6}}=5\\{\overline {Y}}_{2}&={\frac {1}{6}}\sum Y_{2i}={\frac {8+12+9+11+6+8}{6}}=9\\{\overline {Y}}_{3}&={\frac {1}{6}}\sum Y_{3i}={\frac {13+9+11+8+7+12}{6}}=10\end{aligned}}}$

Langkah 2: Hitung rata-rata keseluruhan:

${\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {\sum _{i}{\overline {Y}}_{i}}{a}}={\frac {{\overline {Y}}_{1}+{\overline {Y}}_{2}+{\overline {Y}}_{3}}{a}}={\frac {5+9+10}{3}}=8}$

di mana a adalah jumlah kelompok.

Langkah 3: Hitung jumlah kuadrat selisih "antar kelompok":

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{B}&=n({\overline {Y}}_{1}-{\overline {Y}})^{2}+n({\overline {Y}}_{2}-{\overline {Y}})^{2}+n({\overline {Y}}_{3}-{\overline {Y}})^{2}\\[8pt]&=6(5-8)^{2}+6(9-8)^{2}+6(10-8)^{2}=84\end{aligned}}}$

di mana n adalah jumlah nilai data per kelompok.

Derajat kebebasan antar kelompok adalah satu kurang dari jumlah kelompok.

${\displaystyle f_{b}=3-1=2}$

jadi nilai kuadrat rata-rata antar kelompok adalah

${\displaystyle MS_{B}=84/2=42}$

Langkah 4: Hitung jumlah kuadrat "dalam kelompok". Mulailah dengan memusatkan data di setiap kelompok.

Jumlah kuadrat dalam kelompok adalah jumlah kuadrat dari semua 18 nilai dalam tabel ini

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{W}=&(1)^{2}+(3)^{2}+(-1)^{2}+(0)^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}+\\&(-1)^{2}+(3)^{2}+(0)^{2}+(2)^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}+\\&(3)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}+(2)^{2}\\=&\ 1+9+1+0+4+1+1+9+0+4+9+1+9+1+1+4+9+4\\=&\ 68\\\end{aligned}}}$

Derajat kebebasan dalam kelompok adalah

${\displaystyle f_{W}=a(n-1)=3(6-1)=15}$

Dengan demikian nilai kuadrat rata-rata dalam kelompok adalah

${\displaystyle MS_{W}=S_{W}/f_{W}=68/15\approx 4.5}$

Langkah 5: Rasio F adalah

${\displaystyle F={\frac {MS_{B}}{MS_{W}}}\approx 42/4.5\approx 9.3}$

Nilai kritis adalah angka yang harus dilampaui oleh statistika uji untuk menolak uji tersebut. Dalam kasus ini, F_crit(2,15) = 3.68 pada α Karena F=9.3 > 3.68; hasilnya signifikan pada tingkat signifikansi 5%. Hipotesis nol tidak akan diterima, sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat bukti kuat bahwa nilai yang diharapkan dalam ketiga kelompok tersebut berbeda. Nilai p untuk uji ini adalah 0,002.

Setelah melakukan uji F, biasanya dilakukan analisis post hoc terhadap rata-rata kelompok. Dalam kasus ini, rata-rata dua kelompok pertama berbeda 4 unit, rata-rata kelompok pertama dan ketiga berbeda 5 unit, dan rata-rata kelompok kedua dan ketiga hanya berbeda 1 unit. Kesalahan standar dari masing-masing perbedaan ini adalah ${\displaystyle {\sqrt {4.5/6+4.5/6}}=1.2}$. Dengan demikian, kelompok pertama sangat berbeda dari kelompok lain, karena perbedaan rata-ratanya lebih dari 3 kali kesalahan standar, sehingga kita dapat sangat yakin bahwa rata-rata populasi kelompok pertama berbeda dari rata-rata populasi kelompok lain. Namun, tidak ada bukti bahwa kelompok kedua dan ketiga memiliki rata-rata populasi yang berbeda satu sama lain, karena perbedaan rata-ratanya sebesar satu unit sebanding dengan kesalahan standar.

Catatan: F(x, y) menunjukkan fungsi distribusi kumulatif distribusi F dengan x derajat kebebasan di pembilang dan y derajat kebebasan di penyebut.

Lihat juga

• Analisis varians
• Uji F (Termasuk contoh ANOVA satu arah)
• Model campuran
• Analisis varians multivariat (MANOVA)
• Analisis varians dua arah
• Uji t Welch

Catatan

Bacaan lanjutan

• George Casella (18 April 2008). Statistical design. Springer. ISBN 978-0-387-75965-4.