Dalam teori himpunan, teori model dalam merupakan studi mengenai model tertentu atau suatu bagian atau penguatan darinya. Biasanya model-model ini adalah himpunan bagian transitif atau subkelas dari semesta von Neumann ${\displaystyle V}$, atau terkadang perluasan generik ${\displaystyle V}$. Teori model dalam mempelajari hubungan model-model ini dengan determinasi, kardinal besar, dan teori himpunan deskriptif. Meskipun nama, ini dianggap lebih banyak cabang teori himpunan mengenai teori model.

Contoh

• Kelas semua himpunan adalah model dalam berisi semua model dalam lainnya.
• Contoh taktrivial pertama mengenai sebuah model dalam adalah semesta terkonstruksi ${\displaystyle L}$ dikembangkan oleh Kurt Gödel. Setiap model ${\displaystyle M}$ dari teori himpunan Zermelo–Fraenkel memiliki sebuah model dalam ${\displaystyle L^{M}}$ memenuhi aksioma keterbangunan, dan ini akan menjadi model dalam terkecil dari ${\displaystyle M}$ berisi semua ordinal dari ${\displaystyle M}$. Terlepas dari sifat-sifat model asalnya, ${\displaystyle L^{M}}$ akan memenuhi hipotesis kontinm rampat dan aksioma kombinatorial seperti prinsip wajik ${\displaystyle \Diamond }$.
• HOD, kelas himpunan merupakan terdefinisi ordinal turun temurun, membentuk sebuah model dalam, digunakan dalam teorema Solovay.
• ${\displaystyle \mathrm {L} (R)}$, model dalam terkecil berisi semua bilangan real dan semua ordinal.
• ${\displaystyle \mathrm {L} [U]}$, kelas dibangun relatif terhadap sebuah ultratapis ${\displaystyle U}$ normal, takprinsip, sempurna-${\displaystyle \kappa }$ atas sebuah ordinal ${\displaystyle \kappa }$ (lihat belati nol).

Hasil konsistensi

Salah satu penggunaan model dalam yang penting adalah bukti hasil konsistensi. Jika ini dapat ditunjukkan bahwa setiap model aksioma ${\displaystyle A}$ memiliki sebuah model dalam memenuhi aksioma ${\displaystyle B}$, maka jika ${\displaystyle A}$ konsisten, ${\displaystyle B}$ juga konsisten. Analisis ini paling berguna ketika ${\displaystyle A}$ adalah sebuah bebas aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel, contohnya sebuah aksioma kardinal besar; ini adalah salah satu alat digunakan untuk mengurutkan aksioma berdasarkan kekuatan kekonsistenan.

Referensi

• Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (Edisi 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00384-7

Lihat pula

• Model inti
• Model dalam