Teorema isomorfisme pertama

Misalkan ${\displaystyle G}$ menjadi sebuah grup, ${\displaystyle N}$ menjadi subgrup normal pada ${\displaystyle G}$ dan ${\displaystyle H}$ menjadi subgrup oleh ${\displaystyle G}$. Kemudian produk kompleks ${\displaystyle HN:=\{hn\mid h\in H,n\in N\}}$ subgrup ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle N}$ adalah subgrup normal di ${\displaystyle HN}$ dan grup ${\displaystyle H\cap N}$ adalah pembagi normal di ${\displaystyle H}$. Hal berikut ini berlaku:

${\displaystyle H/(H\cap N)\cong HN/N.}$

${\displaystyle \cong }$ menunjukkan isomorfisme grup.

Isomorfisme yang biasanya dimaksudkan disebut sebagai isomorfisme kanonik. Menurut Teorema Homomorfisme, ini diturunkan dari pemetaan dugaan

${\displaystyle f\colon H\to HN/N,\quad h\mapsto hN,}$

diinduksi, karena jelas berlaku

${\displaystyle \mathrm {kern} \left(f\right)=\left\{a\in H\mid aN=N\right\}=\left\{a\in H\mid a\in N\right\}=H\cap N}$.

Dari teorema isomorfisme pertama, sebagai kasus khusus, seseorang menerima pernyataan yang jelas bahwa seseorang dapat "memperluas" dengan ${\displaystyle N}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle H\cap N=\{0\}}$.

Teorema isomorfisme kedua

Misalkan ${\displaystyle G}$ menjadi sebuah grup, ${\displaystyle H}$ menjadi subgrup normal di ${\displaystyle G}$ dan ${\displaystyle N}$ menjadi subgrup ${\displaystyle H}$, yang merupakan pembagi normal dalam ${\displaystyle G}$. Kemudian:

• ${\displaystyle (G/N)/(H/N)\cong G/H.}$

Dalam hal ini, isomorfisme kanonik dapat diberikan di kedua arah, diinduksi oleh di satu sisi

${\displaystyle G/N\to G/H,\quad gN\mapsto gH,}$

di sisi lain

${\displaystyle G\to (G/N)/(H/N),\quad g\mapsto gN(H/N).}$

Secara jelas, teorema isomorfisme kedua mengatakan bahwa ${\displaystyle N}$ dapat "dipersingkat".

Teorema isomorfisme pertama

Biarkan ${\displaystyle R}$ menjadi sebuah gelanggang, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ideal dari ${\displaystyle R}$ dan ${\displaystyle S}$ subgelanggang dari ${\displaystyle R}$. Maka jumlahnya ${\displaystyle S+{\mathfrak {a}}=\{s+a|s\in S,a\in {\mathfrak {a}}\}}$ cincin dengan ${\displaystyle R}$ dan potongan ${\displaystyle S\cap {\mathfrak {a}}}$ ideal dari ${\displaystyle S}$. Hal berikut ini berlaku:

${\displaystyle S/(S\cap {\mathfrak {a}})\cong (S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \cong }$ menunjukkan isomorfisme gelanggang.

Teorema isomorfisme kedua

Biarkan ${\displaystyle R}$ menjadi sebuah gelanggang, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}$ dua rumus dengan ${\displaystyle R}$. Kemudian ${\displaystyle {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}}=\{a+{\mathfrak {b}}|a\in {\mathfrak {a}}\}}$ rumusnya ${\displaystyle R/{\mathfrak {b}}}$. Hal berikut ini berlaku:

${\displaystyle (R/{\mathfrak {b}})/({\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}})\cong R/{\mathfrak {a}}}$