Implikasi "hanya jika"

Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Diketahui ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{n}}$ adalah himpunan kompak. Dengan kata lain, setiap peliput buka dari ${\displaystyle H}$ memiliki subliput berhingga. Misalkan ${\displaystyle B_{r}(a)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid d(x,\,a)<r\right\}}$ menyatakan bola berjari-jari ${\displaystyle r}$ yang berpusat pada titik ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Implikasi "jika"

Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dan sembarang bilangan riil ${\displaystyle k>0}$. Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$ merupakan himpunan himpunan kompak melalui kontradiksi.

Andaikan ${\displaystyle K}$ bukan merupakan himpunan kompak, maka terdapat suatu peliput buka $${\displaystyle C=\bigcup _{i\,=\,1}^{\infty }C_{i}}$$ dari ${\displaystyle K}$ yang tidak memiliki subliput hingga. Himpunan ${\displaystyle K}$ kemudian dipartisi menjadi ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan ${\displaystyle K}$. Jika semua ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan dari himpunan ${\displaystyle K}$ masing-masing dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$, maka himpunan ${\displaystyle K}$ juga dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$ (yaitu dengan menggabungkan semua subliput hingga dari masing-masing ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan yang telah dipartisi). Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi berdasarkan asumsi di awal (bahwasanya himpunan ${\displaystyle K}$ bukan merupakan himpunan kompak). Akibatnya, setidaknya salah satu dari ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan dari himpunan ${\displaystyle K}$ tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$. Misalkan subhimpunan ini dinamai ${\displaystyle K_{1}}$.

Dengan proses serupa, himpunan ${\displaystyle K_{1}}$ kemudian dipartisi menjadi ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan ${\displaystyle K_{1}}$. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, hal ini mengakibatkan setidaknya salah satu dari ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan dari himpunan ${\displaystyle K_{1}}$ tidak dapat diliput oleh suatu subliput berhingga dari ${\displaystyle C}$. Misalkan subhimpunan ini dinamai ${\displaystyle K_{2}}$. Proses ini terus dilanjutkan, sehingga terbentuk barisan $${\displaystyle K\supset K_{1}\supset K_{2}\supset \ldots \supset K_{p}\supset \ldots }$$ Perhatikan bahwa ukuran diameter dari himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ ialah ${\displaystyle (2k)\cdot 2^{-p}}$, yang akan menuju 0 saat nilai ${\displaystyle p}$ menuju tak hingga. Misalkan didefinisikan suatu barisan ${\displaystyle \langle x_{m}\rangle }$ dengan sifat ${\displaystyle x_{m}\in K_{m}}$, untuk setiap ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$. Barisan ini adalah barisan Cauchy, sehingga barisan ini akan konvergen ke suatu nilai limit ${\displaystyle L}$. Oleh karena ${\displaystyle x_{m}\in K_{p}}$ untuk setiap ${\displaystyle m\geq p}$ dan setiap himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ merupakan himpunan tertutup, maka diperoleh ${\displaystyle L\in K_{p}}$ untuk setiap ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$.

Berdasarkan definisi dari peliput suatu himpunan, maka berlaku ${\displaystyle K\subseteq C}$. Oleh karena ${\displaystyle L\in K_{p}}$, maka diperoleh ${\displaystyle L\in C}$. Dengan kata lain, himpunan ${\displaystyle C=\bigcup _{i\,=\,1}^{\infty }C_{i}}$ meliput titik ${\displaystyle L}$. Akibatnya, terdapat suatu ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ sedemikian sehingga ${\displaystyle L\in \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$. Oleh karena ${\displaystyle \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$ adalah himpunan terbuka, maka terdapat suatu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle B_{\varepsilon }(L)\subseteq \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$. Jika dipilih ${\displaystyle p>\,^{2}\!\log \left({\dfrac {2k}{\varepsilon }}\right)}$, maka ${\displaystyle (2k)\cdot 2^{-p}<\varepsilon }$. Akibatnya, diperoleh $${\displaystyle K_{p}\subset B_{\varepsilon }(L)\subset \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}\subset C}$$ Berdasarkan hasil di atas, himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ memiliki setidaknya satu peliput hingga, yaitu ${\displaystyle \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$. Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab telah diperoleh sebelumnya bahwa setiap himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan ${\displaystyle K}$ bukan merupakan himpunan kompak) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$ merupakan himpunan himpunan kompak.

Diketahui bahwa himpunan ${\displaystyle H}$ adalah himpunan tertutup dan terbatas. Oleh karena himpunan ${\displaystyle H}$ adalah himpunan terbatas, maka terdapat suatu ${\displaystyle k>0}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle H\subseteq \left[-k,\,k\right]^{n}}$. Misalkan ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H}}$ adalah suatu peliput buka dari himpunan ${\displaystyle H}$. Oleh karena himpunan ${\displaystyle H}$ adalah himpunan tertutup, maka ${\displaystyle H^{\complement }}$ adalah himpunan tertutup, dan himpunan $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}={\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$$ adalah peliput buka dari himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$, sebab untuk sembarang elemen ${\displaystyle x\in K}$

1. Jika ${\displaystyle x\in H}$, maka ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{H}}$, sehingga diperoleh ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$ (sebab ${\displaystyle H\subseteq {\mathcal {C}}_{H}\subset {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$)
2. Jika ${\displaystyle x\not \in H}$, maka ${\displaystyle x\in H^{\complement }}$, sehingga diperoleh ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$ (sebab ${\displaystyle H^{\complement }\subset {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{c}}$)

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$ merupakan himpunan kompak. Akibatnya, peliput buka ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}}$ memiliki suatu subliput hingga ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K}}$ yang sekaligus meliput himpunan ${\displaystyle H}$. $${\displaystyle H\subseteq K\subseteq {\mathcal {S}}_{K}\subset {\mathcal {C}}_{K}}$$ Perhatikan bahwa setiap anggota pada himpunan ${\displaystyle H^{\complement }}$ bukanlah anggota dari himpunan ${\displaystyle H}$. Akibatnya, himpunan ${\displaystyle H}$ dapat diliput oleh $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{H}={\mathcal {S}}_{K}\setminus H^{\complement }}$$ yang merupakan subliput hingga dari ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H}}$. Oleh karena ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H}}$ adalah sembarang peliput buka dari himpunan ${\displaystyle H}$, maka terbukti bahwa himpunan ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan kompak.

Sifat Heine-Borel pada ruang metrik

Suatu ruang metrik ${\displaystyle (X,\,d)}$ dikatakan memiliki sifat Heine-Borel jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas^[3] pada ${\displaystyle X}$ adalah himpunan kompak.

Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik bilangan rasional (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika garis bilangan real tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.

Suatu ruang metrik ${\displaystyle (X,\,d)}$ memiliki metrik Heine-Borel (yang identik lokal Cauchy dengan ${\displaystyle d}$) jika dan hanya jika ruang tersebut lengkap, kompak ${\displaystyle \sigma }$, dan kompak lokal.^[4]

Sifat Heine-Borel pada ruang vektor topologis

Suatu ruang vektor topologis ${\displaystyle X}$ dikatakan memiliki sifat Heine-Borel ^[5] jika setiap himpunan tertutup dan terbatas^[6] pada ${\displaystyle X}$ adalah himpunan kompak^[7] (R. E. Edwards menggunakan istilah ruang kompak terbatas^[8]). Tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), tetapi beberapa ruang Fréchet memilikinya. Misalnya, ruang ${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {D}})}$ dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$^[8] dan ruang ${\displaystyle H({\mathcal {D}})}$ dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {C} ^{n}}$.^[8]