Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif

Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif:$${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{atau}}\quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.}$$Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dengan memasukkan$${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}{\text{ dan }}v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.}$$ Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Ruang Euklides dimensi-n

Dalam ruang Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)}$$Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di ${\displaystyle x}$ di bawah berikut adalah:$${\displaystyle 0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.}$$Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk ${\displaystyle x,}$ sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,$${\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0,}$$

Ruang kompleks bidang-n

Jika ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ dengan ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})}$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n})}$, dan ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$ dan ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},} dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:$${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2},}$$atau dengan kata lain,$${\displaystyle |u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}).}$$

L²

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.