Landasan teoretis

Dalam pembuatan payung geulis, aktivitas matematika dapat dengan jelas terlihat, di antaranya seperti pada proses pengukuran dan pembuatan pola. Pengukuran dilakukan dalam tahap membuat kerangka dan rusuk payung. Pada saat menentukan jarak antara rusuk payung, baik itu rusuk dalam maupun rusuk luar, perajin perlu mengacu pada prinsip kekonsistenan, artinya jaraknya harus selalu sama, sehingga harus dilakukan perkiraaan dan perhitungan terlebih dahulu.^[9] Konsep matematika yang terkandung dalam pembuatan payung geulis utamanya adalah geometri, di antaranya adalah geometri bangun datar, geometri bangun ruang, geometri transformasi (refleksi, translasi, dan rotasi), dan kekongruenan.^[10]

Geometri bangun datar

Bangun datar yang digunakan dalam payung geulis adalah lingkaran, sebagai kerangka kanopi payung. Sebelumnya, perajin akan menentukan diameter dan jari-jari. Setelah itu, barulah bangun datar lingkaran dibuat dengan ukuran tertentu. Biasanya, diameter payung geulis berukuran 66 cm dengan jumlah rusuk payung sebanyak 20-22 buah. Selain itu, ukuran diameter payung geulis juga dapat dibuat lebih beragam, ada yang 33 cm hingga 1,5m, disesuaikan dengan kebutuhan.^[11]

Geometri bangun ruang

Bangun ruang yang digunakan dalam payung geulis adalah kerucut dan tabung.^[12]

Simetri

Payung geulis menggunakan konsep simetri, maksudnya adalah ketika motif payung geulis dibuat, pembuatan sketsanya langsung dibuat saat kain atau kertas telah terpasang pada kerangka payung.^[14]

Geometri transformasi refleksi

Selain menggunakan konsep simetri, pembuatan motif payung geulis juga dapat menerapkan konsep refleksi. Sketsa motif hanya perlu dibuat pada bagian tertentu, misal di sebelah kanan, bawah, atau posisi lainnya. Setelah diterapkan konsep refleksi, maka akan diperoleh motif secara utuh. Sifat refleksi yang terdapat pada payung geulis adalah refleksi terhadap sumbu-x.^[14]

Pencerminan terhadap sumbu ${\displaystyle x:P(x,y)sumbux\rightarrow P'(x,-y)}$, dengan matriks pencerminan ${\displaystyle P_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}sehinggaP_{x}'={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Geometri rotasi

Selain menggunakan konsep simetri dan refleksi, pembuatan motif payung geulis juga dapat menerapkan konsep rotasi. Sebuah motif ${\displaystyle a}$ digambarkan, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y, sehingga diperoleh ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle a'}$ kemudian dirotasi 180° terhadap titik O ${\displaystyle (0,0)}$ menjadi ${\displaystyle a''}$.^[15]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta &-y\sin \theta \\x\sin \theta &y\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Kekongruenan

Selain menggunakan konsep simetri, refleksi, dan rotasi, pembuatan motif payung juga dapat menerapkan konsep kongruen. Artinya, sketsa yang telah digambarkan dapat diberikan berbagai tindakan, seperti dicerminkan, digeser, atau diputar, sehingga nantinya akan didapatkan ukuran dan bentuk yang sama seperti semula.^[16]