Manchester United
Kovář memulai kariernya dengan 1. FC Slovácko di negara asalnya, Republik Ceko, tetapi pindah ke Inggris untuk bergabung dengan Manchester United pada Januari 2018 pada usia 17 tahun.[3] Setelah menjadi pemain cadangan yang tidak digunakan untuk tim U-19 dalam pertandingan Liga Muda UEFA 2017–2018 melawan rival Liverpool pada 21 Februari 2018, ia melakoni debutnya untuk tim U-18 klub dalam kemenangan liga 4–1 di kandang melawan Everton tiga hari kemudian. Ia bermain di semua pertandingan kecuali dua pertandingan tersisa tim musim itu, menggantikan Alex Fojtíček sebagai kiper pilihan pertama. Kovář kembali menjadi kiper pilihan pertama untuk tim cadangan musim berikutnya, bermain dalam 17 dari 22 pertandingan liga mereka; ia juga bermain dalam enam dari tujuh pertandingan untuk tim U-19 di Liga Muda UEFA 2018–2019.[4]
Pada musim 2019–2020, ia bermain dalam 11 dari 17 pertandingan liga yang dimainkan tim cadangan sebelum musim dihentikan karena pandemi COVID-19 di Inggris, serta keempat pertandingan yang mereka mainkan di Trofi EFL 2019–2020, di mana mereka berhadapan dengan tim senior dari tim-tim di Liga Satu dan Dua EFL. Penampilannya untuk tim cadangan membuatnya mendapatkan kontrak baru dengan klub, yang ditandatangani pada Oktober 2019.[5] Dengan kualifikasi tim utama untuk fase gugur UEFA Europa League 2019–2020 yang sudah aman, manajer Ole Gunnar Solskjær memilih tim muda untuk pertandingan pekan ke-5 mereka melawan Astana di Kazakhstan pada 28 November 2019; Kovář masuk dalam daftar pemain cadangan untuk Lee Grant, tetapi tidak bermain dalam pertandingan tersebut.[6]
Menjelang musim 2020–2021, Kovář pindah dengan status pinjaman ke Swindon Town pada Agustus 2020.[7] Ia melakukan debutnya pada 5 September 2020, dalam kekalahan 3–201 melawan Charlton Athletic di Piala EFL.[8] Pada Januari 2021, Kovář dipanggil kembali oleh Manchester United setelah membuat 21 penampilan untuk Swindon.[9]
Kovář masuk dalam skuad Liga Premier terakhir United yang diserahkan setelah berakhirnya batas waktu transfer untuk musim 2021–2022.[10] Pada 31 Januari 2022, Kovář menandatangani kontrak baru dengan United hingga Juni 2023 dan dipinjamkan ke Burton Albion hingga akhir musim.[11][12][13]
Pada tanggal 9 September 2022, Kovář pindah dengan status pinjaman ke klub Ceko Sparta Prague.[14] Ia melakukan debutnya pada tanggal 10 September 2022, dalam pertandingan tandang yang berakhir imbang 2–202 melawan FK Teplice di Liga Utama Ceko.[15] Kovář membantu klub tersebut meraih gelar juara pertama sejak tahun 2014.[16] Ia dianugerahi sebagai kiper terbaik musim 2022–2023 oleh Asosiasi Sepak Bola Liga (LFA).[17]