Dalam geometri diferensial, sebuah manifold Riemann atau ruang Riemannan ${\displaystyle (M,g)}$ adalah sebuah manifold mulus real ${\displaystyle M}$ yang dilengkapi dengan sebuah darab dalam ${\displaystyle g_{p}}$ di ruang garis singgung ${\displaystyle T_{p}M}$ di setiap titik ${\displaystyle p}$. Jika ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ adalah medan vektor pada ${\displaystyle V}$, maka ${\displaystyle p\mapsto g_{p}(X(p),Y(p))}$ merupakan sebuah fungsi mulus. Keluarga ${\displaystyle g_{p}}$ dari darab dalam disebut sebuah metrik Riemann (tensor). Istilah ini diambil dari nama matematikawan Jerman Bernhard Riemann. Studi mengenai manifold Riemann ini melingkupi subjek yang disebut geometri Riemann.

Metrik Riemann (tensor) membuatnya memungkinkan untuk mendefinisikan berbagai titik geometrik pada sebuah manifold Riemann, seperti sudut, jarak kurva, luas (atau volume), kelengkungan, gradien fungsi dan kedivergenan medan vektor.

Referensi

• Jost, Jürgen (2008), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (Edisi 5th), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77340-5
• do Carmo, Manfredo (1992), Riemannian geometry, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3490-2

Pranala luar

• L.A. Sidorov (2001) [1994], "Riemannian metric", dalam Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4