Fungsi distribusi kumulatif

Berdasarkan definisi tersebut, fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak Pareto dengan parameter α dan x_m adalah

$${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$$

Fungsi kepekatan probabilitas

Selanjutnya, melalui turunan, diperoleh fungsi kepekatan probabilitas sebagai berikut:

$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$$

Apabila digambarkan pada sumbu linear, distribusi ini membentuk kurva khas berbentuk huruf J yang secara asimtotik mendekati masing-masing sumbu ortogonal. Setiap segmen kurva bersifat self-similar, dengan mempertimbangkan faktor skala yang sesuai. Sementara itu, pada grafik log-log, distribusi ini direpresentasikan sebagai sebuah garis lurus.

Momen dan fungsi karakteristik

• Nilai harapan dari sebuah variabel acak yang mengikuti distribusi Pareto adalah $${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$$

• Varians dari sebuah variabel acak yang mengikuti distribusi Pareto adalah $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$$
  (Jika α ≤ 1, varians tidak terdefinisi.)

• Momen mentah diberikan oleh $${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}}$$

• Fungsi pembangkit momen hanya terdefinisi untuk nilai t tidak positif, yaitu t ≤ 0, dan dinyatakan sebagai $${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$$ $${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$$
  Dengan demikian, karena nilai harapan tidak konvergen pada suatu selang terbuka yang memuat ${\displaystyle t=0}$, fungsi pembangkit momen dikatakan tidak ada.

• Fungsi karakteristik diberikan oleh $${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$$ dengan Γ(a, x) menyatakan fungsi gamma tak lengkap.

Parameter-parameter distribusi ini dapat ditentukan menggunakan metode momen.^[9]

Distribusi bersyarat

Distribusi probabilitas bersyarat dari suatu variabel acak berdistribusi Pareto, dengan syarat bahwa nilainya lebih besar atau sama dengan suatu bilangan tertentu ${\displaystyle x_{1}}$ yang melebihi ${\displaystyle x_{\text{m}}}$, juga merupakan distribusi Pareto dengan indeks Pareto yang sama ${\displaystyle \alpha }$, tetapi dengan nilai minimum ${\displaystyle x_{1}}$ sebagai pengganti ${\displaystyle x_{\text{m}}}$:

$${\displaystyle {\text{Pr}}(X\geq x|X\geq x_{1})={\begin{cases}\left({\frac {x_{1}}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{1},\\1&x<x_{1}.\end{cases}}}$$

Hal ini menyiratkan bahwa nilai harapan bersyarat (apabila hingga, yakni jika ${\displaystyle \alpha >1}$) berbanding lurus dengan ${\displaystyle x_{1}}$:

$${\displaystyle {\text{E}}(X|X\geq x_{1})\propto x_{1}.}$$

Dalam konteks variabel acak yang merepresentasikan umur pakai suatu objek, hasil ini berarti bahwa harapan masa hidup berbanding lurus dengan usia yang telah dicapai. Fenomena ini dikenal sebagai efek Lindy atau Hukum Lindy.^[10]

Sebuah teorema karakterisasi

Misalkan ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }$ adalah variabel acak independen identik terdistribusi yang distribusi peluangnya memiliki dukungan pada selang ${\displaystyle [x_{\text{m}},\infty )}$ untuk suatu ${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$. Anggap pula bahwa untuk setiap ${\displaystyle n}$, dua variabel acak ${\displaystyle \min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ dan ${\displaystyle (X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ saling bebas. Maka distribusi bersama tersebut adalah distribusi Pareto.^{[butuh rujukan]}

Rata-rata geometrik

Rata-rata geometrik (G) didefinisikan sebagai^[11]

$${\displaystyle G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).}$$

Rata-rata harmonik

Rata-rata harmonik (H) didefinisikan sebagai^[11]

$${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$$

Representasi grafis

Distribusi berciri khas 'ekor panjang', apabila diplot pada skala linear, cenderung menyamarkan kesederhanaan bentuk fungsinya. Namun, ketika digambarkan pada grafik log-log, distribusi ini tampak sebagai sebuah garis lurus dengan gradien negatif. Hal ini dapat diturunkan dari rumus fungsi kepekatan probabilitas, yakni untuk x ≥ x_m,

$${\displaystyle \log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.}$$

Karena α bernilai positif, gradien −(α + 1) bersifat negatif.

Distribusi Pareto tergeneralisasi

Terdapat suatu hierarki distribusi Pareto^[8][12] yang dikenal sebagai distribusi Pareto Tipe I, II, III, IV, serta distribusi Feller–Pareto.^[8][12][13] Distribusi Pareto Tipe IV mencakup Pareto Tipe I–III sebagai kasus-kasus khusus. Sementara itu, distribusi Feller–Pareto^[12][14] merupakan generalisasi lebih lanjut dari Pareto Tipe IV.

Pareto Tipe I–IV

Hierarki distribusi Pareto diringkas dalam tabel berikut, dengan membandingkan fungsi survival (CDF komplementer) masing-masing distribusi.

Apabila μ = 0, distribusi Pareto Tipe II juga dikenal sebagai distribusi Lomax.^[15]

Dalam bagian ini, simbol x_m yang sebelumnya digunakan untuk menyatakan nilai minimum dari x digantikan dengan σ.

Distribusi Pareto

	${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$	Dukungan	Parameter
Tipe I	${\displaystyle \left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \sigma }$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
Tipe II	${\displaystyle \left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha }$
Lomax	${\displaystyle \left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq 0}$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
Tipe III	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0}$
Tipe IV	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha }$

Parameter bentuk α merupakan indeks ekor, μ adalah parameter lokasi, σ adalah parameter skala, dan γ merupakan parameter ketimpangan. Beberapa kasus khusus dari distribusi Pareto Tipe (IV) adalah sebagai berikut

$${\displaystyle P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),}$$ $${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),}$$ $${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).}$$

Keterhinggaan nilai harapan, serta keberadaan dan keterhinggaan varians, bergantung pada indeks ekor α (atau indeks ketimpangan γ). Secara khusus, momen pecahan berorde δ bernilai hingga untuk beberapa δ > 0, sebagaimana ditunjukkan dalam tabel di bawah ini, dengan δ yang tidak harus berupa bilangan bulat.

Momen distribusi Pareto Tipe I–IV (kasus μ = 0)

	${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$	Kondisi	${\displaystyle \operatorname {E} [X^{\delta }]}$	Kondisi
Tipe I	${\displaystyle {\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}}$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}}$	${\displaystyle \delta <\alpha }$
Tipe II	${\displaystyle {\frac {\sigma }{\alpha -1}}+\mu }$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle 0<\delta <\alpha ,\mu =0}$
Tipe III	${\displaystyle \sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )}$	${\displaystyle -1<\gamma <1}$	${\displaystyle \sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}}$
Tipe IV	${\displaystyle {\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -1<\gamma <\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma }$

Secara umum

Vilfredo Pareto pada awalnya menggunakan distribusi ini untuk menggambarkan pembagian kekayaan di antara individu, karena menurut pengamatannya distribusi tersebut cukup baik mencerminkan kenyataan bahwa sebagian besar kekayaan dalam suatu masyarakat dimiliki oleh persentase kecil penduduknya. Ia juga menerapkannya untuk mendeskripsikan distribusi pendapatan.^[4] Gagasan ini kerap diringkas dalam apa yang dikenal sebagai prinsip Pareto atau "aturan 80–20", yang menyatakan bahwa 20% populasi menguasai 80% kekayaan.^[17] Sebagaimana dikemukakan Michael Hudson dalam The Collapse of Antiquity, "sebuah konsekuensi matematisnya adalah bahwa 10% penduduk akan memiliki 65% kekayaan, dan 5% akan menguasai setengah dari kekayaan nasional."^[18] Namun demikian, aturan 80–20 berkaitan dengan nilai tertentu dari α. Bahkan, data Pareto mengenai pajak penghasilan di Britania Raya dalam Cours d’économie politique menunjukkan bahwa sekitar 30% populasi menguasai kurang lebih 70% pendapatan.^{[butuh rujukan]}

Grafik fungsi kepekatan probabilitas (PDF) yang ditampilkan di awal artikel ini memperlihatkan bahwa "probabilitas", atau proporsi penduduk yang memiliki kekayaan per orang dalam jumlah kecil, relatif besar, lalu menurun secara bertahap seiring dengan meningkatnya kekayaan. (Perlu dicatat bahwa distribusi Pareto kurang realistis untuk menggambarkan kekayaan pada ujung bawah distribusi; dalam kenyataannya, nilai kekayaan bersih bahkan dapat bernilai negatif.) Distribusi ini tidak terbatas pada pemodelan kekayaan atau pendapatan saja, melainkan juga muncul dalam berbagai situasi lain ketika terdapat suatu keseimbangan dalam distribusi ukuran atau magnitudo. Beberapa contoh berikut sering dianggap mendekati distribusi Pareto:

• Keempat variabel dalam kendala anggaran rumah tangga: konsumsi, pendapatan tenaga kerja, pendapatan modal, dan kekayaan.^[19]
• Ukuran permukiman manusia (sedikit kota besar, banyak dusun atau desa kecil).^[20][21]
• Distribusi ukuran berkas pada lalu lintas Internet yang menggunakan protokol TCP (banyak berkas kecil, sedikit berkas besar).^[20]
• Tingkat kesalahan pada cakram keras.^[22]
• Gugus kondensat Bose-Einstein di dekat suhu nol mutlak.^[23]
• Nilai cadangan minyak pada ladang minyak (sedikit ladang besar, banyak ladang kecil).^[20]
• Distribusi lama waktu pekerjaan yang dijalankan pada superkomputer (sedikit pekerjaan berdurasi sangat panjang, banyak pekerjaan singkat).^[24]
• Imbal hasil harga saham individual yang telah distandardisasi.^[20]
• Ukuran butiran pasir.^[20]
• Ukuran meteorit.
• Tingkat keparahan kerugian asuransi dengan korban besar untuk jenis usaha tertentu, seperti tanggung gugat umum, kendaraan komersial, dan asuransi kecelakaan kerja.^[25][26]
• Dalam hidrologi, distribusi Pareto digunakan untuk memodelkan peristiwa ekstrem, seperti curah hujan harian maksimum tahunan dan debit sungai. Gambar berwarna biru memperlihatkan contoh pemodelan distribusi Pareto terhadap data curah hujan harian maksimum tahunan yang telah diberi peringkat, sekaligus menampilkan pita kepercayaan 90% berdasarkan distribusi binomial. Data curah hujan direpresentasikan melalui posisi plot sebagai bagian dari analisis frekuensi kumulatif.
• Keandalan distribusi utilitas listrik (sekitar 80% dari total menit gangguan pelanggan terjadi pada kurang lebih 20% hari dalam satu tahun tertentu).